Theorem iscld2 12744

Description: A subset of the underlying set of a topology is closed iff its complement is open. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iscld2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ S ) e. J ) )

Proof of Theorem iscld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	iscld 12743	. 2 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
3	2	baibd 913	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ S ) e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   \ cdif 3113   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ` cfv 5188   Topctop 12635   Clsdccld 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-top 12636  df-cld 12735

This theorem is referenced by:  0cld  12752  uncld  12753  cnclima  12863