Theorem iscld2 14818

Description: A subset of the underlying set of a topology is closed iff its complement is open. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iscld2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ S ) e. J ) )

Proof of Theorem iscld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	iscld 14817	. 2 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
3	2	baibd 928	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ S ) e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3195   C_ wss 3198   U.cuni 3891   ` cfv 5324   Topctop 14711   Clsdccld 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-top 14712  df-cld 14809

This theorem is referenced by:  0cld  14826  uncld  14827  cnclima  14937