Theorem iscld2 12262

Description: A subset of the underlying set of a topology is closed iff its complement is open. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iscld2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ S ) e. J ) )

Proof of Theorem iscld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	iscld 12261	. 2 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
3	2	baibd 908	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ S ) e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   \ cdif 3063   C_ wss 3066   U.cuni 3731   ` cfv 5118   Topctop 12153   Clsdccld 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-top 12154  df-cld 12253

This theorem is referenced by:  0cld  12270  uncld  12271  cnclima  12381