Theorem 0cld 14865

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	|- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3564	. . 3 |- ( U. J \ (/) ) = U. J
2	1	topopn 14761	. 2 |- ( J e. Top -> ( U. J \ (/) ) e. J )
3		0ss 3532	. . 3 |- (/) C_ U. J
4		eqid 2230	. . . 4 |- U. J = U. J
5	4	iscld2 14857	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ U. J ) -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
6	3, 5	mpan2 425	. 2 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
7	2, 6	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2201   \ cdif 3196   C_ wss 3199   (/)c0 3493   U.cuni 3894   ` cfv 5328   Topctop 14750   Clsdccld 14845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-top 14751  df-cld 14848

This theorem is referenced by:  iuncld  14868  cls0  14886