Theorem 0cld 12752

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	|- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3479	. . 3 |- ( U. J \ (/) ) = U. J
2	1	topopn 12646	. 2 |- ( J e. Top -> ( U. J \ (/) ) e. J )
3		0ss 3447	. . 3 |- (/) C_ U. J
4		eqid 2165	. . . 4 |- U. J = U. J
5	4	iscld2 12744	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ U. J ) -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
6	3, 5	mpan2 422	. 2 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
7	2, 6	mpbird 166	1 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2136   \ cdif 3113   C_ wss 3116   (/)c0 3409   U.cuni 3789   ` cfv 5188   Topctop 12635   Clsdccld 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-top 12636  df-cld 12735

This theorem is referenced by:  iuncld  12755  cls0  12773