Theorem 0cld 13697

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	|- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3495	. . 3 |- ( U. J \ (/) ) = U. J
2	1	topopn 13593	. 2 |- ( J e. Top -> ( U. J \ (/) ) e. J )
3		0ss 3463	. . 3 |- (/) C_ U. J
4		eqid 2177	. . . 4 |- U. J = U. J
5	4	iscld2 13689	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ U. J ) -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
6	3, 5	mpan2 425	. 2 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
7	2, 6	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   \ cdif 3128   C_ wss 3131   (/)c0 3424   U.cuni 3811   ` cfv 5218   Topctop 13582   Clsdccld 13677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-top 13583  df-cld 13680

This theorem is referenced by:  iuncld  13700  cls0  13718