Theorem 0cld 14617

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	|- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3531	. . 3 |- ( U. J \ (/) ) = U. J
2	1	topopn 14513	. 2 |- ( J e. Top -> ( U. J \ (/) ) e. J )
3		0ss 3499	. . 3 |- (/) C_ U. J
4		eqid 2205	. . . 4 |- U. J = U. J
5	4	iscld2 14609	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ U. J ) -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
6	3, 5	mpan2 425	. 2 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
7	2, 6	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2176   \ cdif 3163   C_ wss 3166   (/)c0 3460   U.cuni 3850   ` cfv 5272   Topctop 14502   Clsdccld 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-top 14503  df-cld 14600

This theorem is referenced by:  iuncld  14620  cls0  14638