Theorem iscld 14271

Description: The predicate "the class S is a closed set". (Contributed by NM, 2-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iscld	|- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )

Proof of Theorem iscld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
2	1	cldval 14267	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) = { x e. ~P X | ( X \ x ) e. J } )
3	2	eleq2d 2263	. . 3 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> S e. { x e. ~P X | ( X \ x ) e. J } ) )
4		difeq2 3271	. . . . 5 |- ( x = S -> ( X \ x ) = ( X \ S ) )
5	4	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( x = S -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( X \ S ) e. J ) )
6	5	elrab 2916	. . 3 |- ( S e. { x e. ~P X | ( X \ x ) e. J } <-> ( S e. ~P X /\ ( X \ S ) e. J ) )
7	3, 6	bitrdi 196	. 2 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S e. ~P X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
8	1	topopn 14176	. . . 4 |- ( J e. Top -> X e. J )
9		elpw2g 4185	. . . 4 |- ( X e. J -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( J e. Top -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
11	10	anbi1d 465	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( S e. ~P X /\ ( X \ S ) e. J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
12	7, 11	bitrd 188	1 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   \ cdif 3150   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   ` cfv 5254   Topctop 14165   Clsdccld 14260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-top 14166  df-cld 14263

This theorem is referenced by:  iscld2  14272  cldss  14273  cldopn  14275  topcld  14277  discld  14304