Theorem cldss 14284

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cldss	|- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ X )

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 14281	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2		iscld.1	. . . 4 |- X = U. J
3	2	iscld 14282	. . 3 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
4	3	simprbda 383	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> S C_ X )
5	1, 4	mpancom 422	1 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3151   C_ wss 3154   U.cuni 3836   ` cfv 5255   Topctop 14176   Clsdccld 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-top 14177  df-cld 14274

This theorem is referenced by:  cldss2  14285  uncld  14292  cldcls  14293  clsss2  14308