Theorem cldss 12111

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cldss	|- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ X )

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 12108	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2		iscld.1	. . . 4 |- X = U. J
3	2	iscld 12109	. . 3 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
4	3	simprbda 378	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> S C_ X )
5	1, 4	mpancom 416	1 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1312   e. wcel 1461   \ cdif 3032   C_ wss 3035   U.cuni 3700   ` cfv 5079   Topctop 12001   Clsdccld 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-fv 5087  df-top 12002  df-cld 12101

This theorem is referenced by:  cldss2  12112  uncld  12119  cldcls  12120  clsss2  12135