Theorem cnclima 14391

Description: A closed subset of the codomain of a continuous function has a closed preimage. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnclima	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem cnclima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . . 6 |- U. J = U. J
2		eqid 2193	. . . . . 6 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnf 14372	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> F : U. J --> U. K )
5		ffun 5406	. . . . . 6 |- ( F : U. J --> U. K -> Fun F )
6		funcnvcnv 5313	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
7		imadif 5334	. . . . . 6 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( U. K \ A ) ) = ( ( `' F " U. K ) \ ( `' F " A ) ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . . . 5 |- ( F : U. J --> U. K -> ( `' F " ( U. K \ A ) ) = ( ( `' F " U. K ) \ ( `' F " A ) ) )
9		fimacnv 5687	. . . . . 6 |- ( F : U. J --> U. K -> ( `' F " U. K ) = U. J )
10	9	difeq1d 3276	. . . . 5 |- ( F : U. J --> U. K -> ( ( `' F " U. K ) \ ( `' F " A ) ) = ( U. J \ ( `' F " A ) ) )
11	8, 10	eqtr2d 2227	. . . 4 |- ( F : U. J --> U. K -> ( U. J \ ( `' F " A ) ) = ( `' F " ( U. K \ A ) ) )
12	4, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( U. J \ ( `' F " A ) ) = ( `' F " ( U. K \ A ) ) )
13	2	cldopn 14275	. . . 4 |- ( A e. ( Clsd ` K ) -> ( U. K \ A ) e. K )
14		cnima 14388	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( U. K \ A ) e. K ) -> ( `' F " ( U. K \ A ) ) e. J )
15	13, 14	sylan2 286	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " ( U. K \ A ) ) e. J )
16	12, 15	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( U. J \ ( `' F " A ) ) e. J )
17		cntop1 14369	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> J e. Top )
19		cnvimass 5028	. . . 4 |- ( `' F " A ) C_ dom F
20	19, 4	fssdm 5418	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " A ) C_ U. J )
21	1	iscld2 14272	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " A ) C_ U. J ) -> ( ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( `' F " A ) ) e. J ) )
22	18, 20, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( `' F " A ) ) e. J ) )
23	16, 22	mpbird 167	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3150   C_ wss 3153   U.cuni 3835   `'ccnv 4658   "cima 4662   Fun wfun 5248   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Topctop 14165   Clsdccld 14260   Cn ccn 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-cld 14263  df-cn 14356

This theorem is referenced by:  hmeocld  14480