Theorem iscld2 13831

Description: A subset of the underlying set of a topology is closed iff its complement is open. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iscld2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem iscld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	iscld 13830	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
3	2	baibd 924	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ∖ cdif 3138   ⊆ wss 3141  ∪ cuni 3821  ‘cfv 5228  Topctop 13724  Clsdccld 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-top 13725  df-cld 13822

This theorem is referenced by:  0cld  13839  uncld  13840  cnclima  13950