Theorem iso0 5968

Description: The empty set is an R , S isomorphism from the empty set to the empty set. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iso0	|- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Proof of Theorem iso0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5631	. 2 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
2		ral0 3598	. 2 |- A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) )
3		df-isom 5342	. 2 |- ( (/) Isom R , S ( (/) , (/) ) <-> ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) ) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	1 |- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2511   (/)c0 3496   class class class wbr 4093   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   Isom wiso 5334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-isom 5342

This theorem is referenced by:  zfz1iso  11168