Theorem iso0 5909

Description: The empty set is an R , S isomorphism from the empty set to the empty set. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iso0	|- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Proof of Theorem iso0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5582	. 2 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
2		ral0 3570	. 2 |- A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) )
3		df-isom 5299	. 2 |- ( (/) Isom R , S ( (/) , (/) ) <-> ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) ) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 945	1 |- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2486   (/)c0 3468   class class class wbr 4059   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290   Isom wiso 5291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-isom 5299

This theorem is referenced by:  zfz1iso  11023