Theorem iso0 5817

Description: The empty set is an R , S isomorphism from the empty set to the empty set. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iso0	|- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Proof of Theorem iso0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5498	. 2 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
2		ral0 3524	. 2 |- A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) )
3		df-isom 5225	. 2 |- ( (/) Isom R , S ( (/) , (/) ) <-> ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) ) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 942	1 |- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2455   (/)c0 3422   class class class wbr 4003   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216   Isom wiso 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-isom 5225

This theorem is referenced by:  zfz1iso  10816