Theorem iso0 5867

Description: The empty set is an R , S isomorphism from the empty set to the empty set. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iso0	|- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Proof of Theorem iso0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5544	. 2 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
2		ral0 3553	. 2 |- A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) )
3		df-isom 5268	. 2 |- ( (/) Isom R , S ( (/) , (/) ) <-> ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. x e. (/) A. y e. (/) ( x R y <-> ( (/) ` x ) S ( (/) ` y ) ) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 |- (/) Isom R , S ( (/) , (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2475   (/)c0 3451   class class class wbr 4034   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   Isom wiso 5260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-isom 5268

This theorem is referenced by:  zfz1iso  10950