Theorem isotr 5766

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) -> ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) )

Proof of Theorem isotr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 |- ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> G : B -1-1-onto-> C )
2		simpl 108	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1oco 5437	. . . 4 |- ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ H : A -1-1-onto-> B ) -> ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C )
4	1, 2, 3	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C )
5		f1of 5414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
6	5	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> H : A --> B )
7		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
8	6, 7	ffvelrnd 5603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
9		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
10	6, 9	ffvelrnd 5603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
11		simplrr 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) )
12		breq1 3968	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` x ) -> ( z S w <-> ( H ` x ) S w ) )
13		fveq2 5468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( H ` x ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
14	13	breq1d 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` x ) -> ( ( G ` z ) T ( G ` w ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) )
15	12, 14	bibi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` x ) -> ( ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) <-> ( ( H ` x ) S w <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) ) )
16		breq2 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( H ` x ) S w <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
17		fveq2 5468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( H ` y ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
18	17	breq2d 3977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
19	16, 18	bibi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( ( H ` x ) S w <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) ) )
20	15, 19	rspc2va 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
21	8, 10, 11, 20	syl21anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
22		fvco3 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
23	6, 7, 22	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
24		fvco3 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( ( G o. H ) ` y ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
25	6, 9, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( G o. H ) ` y ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
26	23, 25	breq12d 3978	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
27	21, 26	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) )
28	27	bibi2d 231	. . . . . . 7 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
29	28	2ralbidva 2479	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
30	29	biimpd 143	. . . . 5 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
31	30	impancom 258	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
32	31	imp 123	. . 3 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) )
33	4, 32	jca 304	. 2 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
34		df-isom 5179	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
35		df-isom 5179	. . 3 |- ( G Isom S , T ( B , C ) <-> ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) )
36	34, 35	anbi12i 456	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) <-> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) )
37		df-isom 5179	. 2 |- ( ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) <-> ( ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
38	33, 36, 37	3imtr4i 200	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) -> ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3965   o. ccom 4590   -->wf 5166   -1-1-onto->wf1o 5169   ` cfv 5170   Isom wiso 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179

This theorem is referenced by: (None)