Theorem isotr 5995

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) -> ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) )

Proof of Theorem isotr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> G : B -1-1-onto-> C )
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1oco 5642	. . . 4 |- ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ H : A -1-1-onto-> B ) -> ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C )
5		f1of 5619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> H : A --> B )
7		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
8	6, 7	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
9		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
10	6, 9	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
11		simplrr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) )
12		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` x ) -> ( z S w <-> ( H ` x ) S w ) )
13		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( H ` x ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
14	13	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` x ) -> ( ( G ` z ) T ( G ` w ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) )
15	12, 14	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` x ) -> ( ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) <-> ( ( H ` x ) S w <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) ) )
16		breq2 4118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( H ` x ) S w <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
17		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( H ` y ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
18	17	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
19	16, 18	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( H ` y ) -> ( ( ( H ` x ) S w <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` w ) ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) ) )
20	15, 19	rspc2va 2938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
21	8, 10, 11, 20	syl21anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
22		fvco3 5753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
23	6, 7, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
24		fvco3 5753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( ( G o. H ) ` y ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
25	6, 9, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( G o. H ) ` y ) = ( G ` ( H ` y ) ) )
26	23, 25	breq12d 4127	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) <-> ( G ` ( H ` x ) ) T ( G ` ( H ` y ) ) ) )
27	21, 26	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) )
28	27	bibi2d 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
29	28	2ralbidva 2566	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
30	29	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
31	30	impancom 260	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
32	31	imp 124	. . 3 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) )
33	4, 32	jca 306	. 2 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) -> ( ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
34		df-isom 5366	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
35		df-isom 5366	. . 3 |- ( G Isom S , T ( B , C ) <-> ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) )
36	34, 35	anbi12i 460	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) <-> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( G : B -1-1-onto-> C /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( G ` z ) T ( G ` w ) ) ) ) )
37		df-isom 5366	. 2 |- ( ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) <-> ( ( G o. H ) : A -1-1-onto-> C /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( G o. H ) ` x ) T ( ( G o. H ) ` y ) ) ) )
38	33, 36, 37	3imtr4i 201	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ G Isom S , T ( B , C ) ) -> ( G o. H ) Isom R , T ( A , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114   o. ccom 4758   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   Isom wiso 5358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366

This theorem is referenced by: (None)