Theorem isoini 5958

Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoini	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima2 5078	. 2 |- ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y }
2		elin 3390	. . . 4 |- ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
3		isof1o 5947	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1ofo 5590	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -onto-> B )
5		forn 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( H : A -onto-> B -> ran H = B )
6	5	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -onto-> B -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
8		f1ofn 5584	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
9		fvelrnb 5693	. . . . . . . . 9 |- ( H Fn A -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
10	3, 8, 9	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
11	7, 10	bitr3d 190	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
13	3, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
14	13	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H Fn A /\ D e. A ) )
15		funfvex 5656	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun H /\ D e. dom H ) -> ( H ` D ) e. _V )
16	15	funfni 5432	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn A /\ D e. A ) -> ( H ` D ) e. _V )
17		vex 2805	. . . . . . . 8 |- y e. _V
18	17	eliniseg 5106	. . . . . . 7 |- ( ( H ` D ) e. _V -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
19	14, 16, 18	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
20	12, 19	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
21		elin 3390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
22		vex 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
23	22	eliniseg 5106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> x R D ) )
24	23	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> ( ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
25	21, 24	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. A -> ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
26	25	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) ) )
27		anass 401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) )
28	26, 27	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
30		isorel 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
31		fnbrfvb 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) )
32	31	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
33	13, 32	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
34	33	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
35	30, 34	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) ) )
36		ancom 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
37		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H ` x ) = y -> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) <-> y S ( H ` D ) ) )
38	37	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
39	36, 38	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
40	35, 39	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
41	40	exp32 365	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( D e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
42	41	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( D e. A -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
43	42	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
44	43	pm5.32d 450	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
45	29, 44	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
46	45	rexbidv2 2535	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
47		r19.41v 2689	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
48	46, 47	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
49	20, 48	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
50	2, 49	bitrid 192	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
51	50	abbi2dv 2350	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y } )
52	1, 51	eqtr4id 2283	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   {csn 3669   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   ran crn 4726   "cima 4728   Fn wfn 5321   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326   Isom wiso 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335

This theorem is referenced by:  isoini2  5959  isoselem  5960