Theorem isoini 5797

Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoini	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima2 4955	. 2 |- ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y }
2		elin 3310	. . . 4 |- ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
3		isof1o 5786	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1ofo 5449	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -onto-> B )
5		forn 5423	. . . . . . . . . 10 |- ( H : A -onto-> B -> ran H = B )
6	5	eleq2d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -onto-> B -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
8		f1ofn 5443	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
9		fvelrnb 5544	. . . . . . . . 9 |- ( H Fn A -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
10	3, 8, 9	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
11	7, 10	bitr3d 189	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
13	3, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
14	13	anim1i 338	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H Fn A /\ D e. A ) )
15		funfvex 5513	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun H /\ D e. dom H ) -> ( H ` D ) e. _V )
16	15	funfni 5298	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn A /\ D e. A ) -> ( H ` D ) e. _V )
17		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
18	17	eliniseg 4981	. . . . . . 7 |- ( ( H ` D ) e. _V -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
19	14, 16, 18	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
20	12, 19	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
21		elin 3310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
22		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
23	22	eliniseg 4981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> x R D ) )
24	23	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> ( ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
25	21, 24	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. A -> ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
26	25	anbi1d 462	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) ) )
27		anass 399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) )
28	26, 27	bitrdi 195	. . . . . . . . 9 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
29	28	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
30		isorel 5787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
31		fnbrfvb 5537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) )
32	31	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
33	13, 32	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
34	33	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
35	30, 34	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) ) )
36		ancom 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
37		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H ` x ) = y -> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) <-> y S ( H ` D ) ) )
38	37	pm5.32i 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
39	36, 38	bitri 183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
40	35, 39	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
41	40	exp32 363	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( D e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
42	41	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( D e. A -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
43	42	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
44	43	pm5.32d 447	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
45	29, 44	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
46	45	rexbidv2 2473	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
47		r19.41v 2626	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
48	46, 47	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
49	20, 48	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
50	2, 49	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
51	50	abbi2dv 2289	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y } )
52	1, 51	eqtr4id 2222	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   {csn 3583   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   ran crn 4612   "cima 4614   Fn wfn 5193   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by:  isoini2  5798  isoselem  5799