Theorem isoini 5712

Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoini	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3254	. . . 4 |- ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
2		isof1o 5701	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofo 5367	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -onto-> B )
4		forn 5343	. . . . . . . . . 10 |- ( H : A -onto-> B -> ran H = B )
5	4	eleq2d 2207	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -onto-> B -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
7		f1ofn 5361	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
8		fvelrnb 5462	. . . . . . . . 9 |- ( H Fn A -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
9	2, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
10	6, 9	bitr3d 189	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
11	10	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
12	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
13	12	anim1i 338	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H Fn A /\ D e. A ) )
14		funfvex 5431	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun H /\ D e. dom H ) -> ( H ` D ) e. _V )
15	14	funfni 5218	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn A /\ D e. A ) -> ( H ` D ) e. _V )
16		vex 2684	. . . . . . . 8 |- y e. _V
17	16	eliniseg 4904	. . . . . . 7 |- ( ( H ` D ) e. _V -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
18	13, 15, 17	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
19	11, 18	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
20		elin 3254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
21		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
22	21	eliniseg 4904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> x R D ) )
23	22	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> ( ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
24	20, 23	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. A -> ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
25	24	anbi1d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) ) )
26		anass 398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) )
27	25, 26	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
28	27	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
29		isorel 5702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
30		fnbrfvb 5455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) )
31	30	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
32	12, 31	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
33	32	adantrr 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
34	29, 33	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) ) )
35		ancom 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
36		breq1 3927	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H ` x ) = y -> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) <-> y S ( H ` D ) ) )
37	36	pm5.32i 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
38	35, 37	bitri 183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
39	34, 38	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
40	39	exp32 362	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( D e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( D e. A -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
42	41	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
43	42	pm5.32d 445	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
44	28, 43	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
45	44	rexbidv2 2438	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
46		r19.41v 2585	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
47	45, 46	syl6bb 195	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
48	19, 47	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
49	1, 48	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
50	49	abbi2dv 2256	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y } )
51		dfima2 4878	. 2 |- ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y }
52	50, 51	syl6reqr 2189	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2123   E.wrex 2415   _Vcvv 2681   i^i cin 3065   {csn 3522   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   ran crn 4535   "cima 4537   Fn wfn 5113   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   Isom wiso 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127

This theorem is referenced by:  isoini2  5713  isoselem  5714