Theorem isoini 5671

Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoini	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3223	. . . 4 |- ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
2		isof1o 5660	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofo 5328	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -onto-> B )
4		forn 5304	. . . . . . . . . 10 |- ( H : A -onto-> B -> ran H = B )
5	4	eleq2d 2182	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -onto-> B -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> y e. B ) )
7		f1ofn 5322	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
8		fvelrnb 5421	. . . . . . . . 9 |- ( H Fn A -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
9	2, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. ran H <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
10	6, 9	bitr3d 189	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
11	10	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. B <-> E. x e. A ( H ` x ) = y ) )
12	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
13	12	anim1i 336	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H Fn A /\ D e. A ) )
14		funfvex 5390	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun H /\ D e. dom H ) -> ( H ` D ) e. _V )
15	14	funfni 5179	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn A /\ D e. A ) -> ( H ` D ) e. _V )
16		vex 2658	. . . . . . . 8 |- y e. _V
17	16	eliniseg 4865	. . . . . . 7 |- ( ( H ` D ) e. _V -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
18	13, 15, 17	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
19	11, 18	anbi12d 462	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
20		elin 3223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
21		vex 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
22	21	eliniseg 4865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> x R D ) )
23	22	anbi2d 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> ( ( x e. A /\ x e. ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
24	20, 23	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. A -> ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. A /\ x R D ) ) )
25	24	anbi1d 458	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) ) )
26		anass 396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x R D ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) )
27	25, 26	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( D e. A -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
28	27	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) ) )
29		isorel 5661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
30		fnbrfvb 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) )
31	30	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
32	12, 31	sylan 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
33	32	adantrr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x H y <-> ( H ` x ) = y ) )
34	29, 33	anbi12d 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) ) )
35		ancom 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
36		breq1 3896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H ` x ) = y -> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) <-> y S ( H ` D ) ) )
37	36	pm5.32i 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` x ) = y /\ ( H ` x ) S ( H ` D ) ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
38	35, 37	bitri 183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H ` x ) S ( H ` D ) /\ ( H ` x ) = y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
39	34, 38	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
40	39	exp32 360	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( D e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( D e. A -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) ) )
42	41	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( x e. A -> ( ( x R D /\ x H y ) <-> ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
43	42	pm5.32d 443	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. A /\ ( x R D /\ x H y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
44	28, 43	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) /\ x H y ) <-> ( x e. A /\ ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) ) )
45	44	rexbidv2 2412	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
46		r19.41v 2559	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
47	45, 46	syl6bb 195	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y <-> ( E. x e. A ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
48	19, 47	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( ( y e. B /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
49	1, 48	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( y e. ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
50	49	abbi2dv 2231	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y } )
51		dfima2 4839	. 2 |- ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = { y | E. x e. ( A i^i ( `' R " { D } ) ) x H y }
52	50, 51	syl6reqr 2164	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ D e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { D } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   {cab 2099   E.wrex 2389   _Vcvv 2655   i^i cin 3034   {csn 3491   class class class wbr 3893   `'ccnv 4496   ran crn 4498   "cima 4500   Fn wfn 5074   -onto->wfo 5077   -1-1-onto->wf1o 5078   ` cfv 5079   Isom wiso 5080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088

This theorem is referenced by:  isoini2  5672  isoselem  5673