Theorem iso0 5990

Description: The empty set is an 𝑅, 𝑆 isomorphism from the empty set to the empty set. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iso0	⊢ ∅ Isom 𝑅, 𝑆 (∅, ∅)

Proof of Theorem iso0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5653	. 2 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
2		ral0 3611	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥𝑅𝑦 ↔ (∅‘𝑥)𝑆(∅‘𝑦))
3		df-isom 5361	. 2 ⊢ (∅ Isom 𝑅, 𝑆 (∅, ∅) ↔ (∅:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥𝑅𝑦 ↔ (∅‘𝑥)𝑆(∅‘𝑦))))
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	1 ⊢ ∅ Isom 𝑅, 𝑆 (∅, ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∀wral 2520  ∅c0 3508   class class class wbr 4109  –1-1-onto→wf1o 5351  ‘cfv 5352   Isom wiso 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-isom 5361

This theorem is referenced by:  zfz1iso  11213