Theorem fprod2dlemstep 11585

Description: Lemma for fprod2d 11586- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fprod2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fprod2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprod2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
fprod2d.5	|- ( ph -> -. y e. x )
fprod2d.6	|- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
fprod2dlemstep.x	|- ( ph -> x e. Fin )
fprod2d.7	|- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )

Assertion

Ref	Expression
fprod2dlemstep	|- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k, z   z, C   D, j, k   ph, j   x, j   y, j, z   ph, k   x, k   y, k, z   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z, j, k)   A( x, y, z)   B( x, y, j)   C( x, y, j, k)   D( x, y, z)

Proof of Theorem fprod2dlemstep

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		fprod2d.7	. . . 4 |- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
3	1, 2	sylib 121	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
4		nfcv 2312	. . . . . 6 |- F/_ m prod_ k e. B C
5		nfcsb1v 3082	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ B
6		nfcsb1v 3082	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ C
7	5, 6	nfcprod 11518	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
8		csbeq1a 3058	. . . . . . 7 |- ( j = m -> B = [_ m / j ]_ B )
9		csbeq1a 3058	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> C = [_ m / j ]_ C )
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( j = m /\ k e. B ) -> C = [_ m / j ]_ C )
11	8, 10	prodeq12dv 11532	. . . . . 6 |- ( j = m -> prod_ k e. B C = prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C )
12	4, 7, 11	cbvprodi 11523	. . . . 5 |- prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
13		fprod2d.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
14	13	unssbd 3305	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y } C_ A )
15		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	15	snss 3709	. . . . . . . 8 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
17	14, 16	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. A )
18		fprod2d.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
19	18	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
20		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j [_ y / j ]_ B
21	20	nfel1 2323	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ y / j ]_ B e. Fin
22		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> B = [_ y / j ]_ B )
23	22	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( j = y -> ( B e. Fin <-> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
24	21, 23	rspc 2828	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
25	17, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ y / j ]_ B e. Fin )
26		fprod2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
27	26	ralrimivva 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B C e. CC )
28		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ y / j ]_ C
29	28	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ y / j ]_ C e. CC
30	20, 29	nfralw 2507	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC
31		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = y -> C = [_ y / j ]_ C )
32	31	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = y -> ( C e. CC <-> [_ y / j ]_ C e. CC ) )
33	22, 32	raleqbidv 2677	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> ( A. k e. B C e. CC <-> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
34	30, 33	rspc 2828	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. j e. A A. k e. B C e. CC -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
35	17, 27, 34	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
36	35	r19.21bi 2558	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ y / j ]_ C e. CC )
37	25, 36	fprodcl 11570	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
38		csbeq1 3052	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ B = [_ y / j ]_ B )
39		csbeq1 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = y /\ k e. [_ m / j ]_ B ) -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
41	38, 40	prodeq12dv 11532	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
42	41	prodsn 11556	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
43	17, 37, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
44		nfcv 2312	. . . . . . . 8 |- F/_ m [_ y / j ]_ C
45		nfcsb1v 3082	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
46		csbeq1a 3058	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> [_ y / j ]_ C = [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C )
47	44, 45, 46	cbvprodi 11523	. . . . . . 7 |- prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
48		csbeq1 3052	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( 2nd ` z ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
49		snfig 6792	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
50	49	elv 2734	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
51		xpfi 6907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / j ]_ B e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
52	50, 25, 51	sylancr 412	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
53		2ndconst 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
54	17, 53	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
55		fvres 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
56	55	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
57	45	nfel1 2323	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC
58	46	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( [_ y / j ]_ C e. CC <-> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
59	57, 58	rspc 2828	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. [_ y / j ]_ B -> ( A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
60	35, 59	mpan9 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC )
61	48, 52, 54, 56, 60	fprodf1o 11551	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
62		elxp 4628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
63		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j z = <. m , k >.
64		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j m e. { y }
65	20	nfcri 2306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j k e. [_ y / j ]_ B
66	64, 65	nfan 1558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B )
67	63, 66	nfan 1558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
68	67	nfex 1630	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
69		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) )
70		opeq1 3765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> <. m , k >. = <. j , k >. )
71	70	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( z = <. m , k >. <-> z = <. j , k >. ) )
72		eleq1w 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j e. { y } ) )
73		velsn 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. { y } <-> j = y )
74	72, 73	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j = y ) )
75	74	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
76	22	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = y -> ( k e. B <-> k e. [_ y / j ]_ B ) )
77	76	pm5.32i 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j = y /\ k e. B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
78	75, 77	bitr4di 197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
79	71, 78	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
80	79	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
81	68, 69, 80	cbvexv1 1745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
82	62, 81	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
83		nfv 1521	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
84		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( 2nd ` z )
85	84, 28	nfcsbw 3085	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
86	85	nfeq2 2324	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
87		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ph
88		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
89	88	nfeq2 2324	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
90		fprod2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
91	90	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = C )
92	31	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> C = [_ y / j ]_ C )
93		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. j , k >. ) )
94		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
95		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- k e. _V
96	94, 95	op2nd 6126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. j , k >. ) = k
97	93, 96	eqtr2di 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
98	97	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> k = ( 2nd ` z ) )
99		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
101	91, 92, 100	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
102	101	expl 376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
103	87, 89, 102	exlimd 1590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
104	83, 86, 103	exlimd 1590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
105	82, 104	syl5bi 151	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
106	105	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
107	106	prodeq2dv 11529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
108	61, 107	eqtr4d 2206	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
109	47, 108	eqtrid 2215	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
110	43, 109	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
111	12, 110	eqtrid 2215	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
112	111	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
113	3, 112	oveq12d 5871	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
114		fprod2d.5	. . . . 5 |- ( ph -> -. y e. x )
115		disjsn 3645	. . . . 5 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
116	114, 115	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> ( x i^i { y } ) = (/) )
117		eqidd 2171	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
118		fprod2dlemstep.x	. . . . 5 |- ( ph -> x e. Fin )
119	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> y e. _V )
120		unsnfi 6896	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
121	118, 119, 114, 120	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) e. Fin )
122	13	sselda 3147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> j e. A )
123	26	anassrs 398	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
124	18, 123	fprodcl 11570	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> prod_ k e. B C e. CC )
125	122, 124	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> prod_ k e. B C e. CC )
126	116, 117, 121, 125	fprodsplit 11560	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
127	126	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
128		eliun 3877	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) <-> E. j e. x z e. ( { j } X. B ) )
129		xp1st 6144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
130		elsni 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
132	131	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( ( 1st ` z ) e. x <-> j e. x ) )
133	132	biimparc 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) e. x )
134	133	rexlimiva 2582	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. x z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
135	128, 134	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
136		xp1st 6144	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( 1st ` z ) e. { y } )
137	135, 136	anim12i 336	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
138		elin 3310	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
139		elin 3310	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
140	137, 138, 139	3imtr4i 200	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) )
141	116	eleq2d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( 1st ` z ) e. (/) ) )
142		noel 3418	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1st ` z ) e. (/)
143	142	pm2.21i 641	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. (/) -> z e. (/) )
144	141, 143	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) -> z e. (/) ) )
145	140, 144	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> z e. (/) ) )
146	145	ssrdv 3153	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) )
147		ss0 3455	. . . . 5 |- ( ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
148	146, 147	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
149		iunxun 3952	. . . . . 6 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) )
150		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( { j } X. B )
151		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { m }
152	151, 5	nfxp 4638	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
153		sneq 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> { j } = { m } )
154	153, 8	xpeq12d 4636	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( { j } X. B ) = ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) )
155	150, 152, 154	cbviun 3910	. . . . . . . 8 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
156		sneq 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> { m } = { y } )
157	156, 38	xpeq12d 4636	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
158	15, 157	iunxsn 3949	. . . . . . . 8 |- U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
159	155, 158	eqtri 2191	. . . . . . 7 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
160	159	uneq2i 3278	. . . . . 6 |- ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
161	149, 160	eqtri 2191	. . . . 5 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
162	161	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
163		snfig 6792	. . . . . . . 8 |- ( j e. _V -> { j } e. Fin )
164	163	elv 2734	. . . . . . 7 |- { j } e. Fin
165	122, 18	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> B e. Fin )
166		xpfi 6907	. . . . . . 7 |- ( ( { j } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
167	164, 165, 166	sylancr 412	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
168	167	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
169		disjsnxp 6216	. . . . . 6 |- Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B )
170	169	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
171		iunfidisj 6923	. . . . 5 |- ( ( ( x u. { y } ) e. Fin /\ A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin /\ Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
172	121, 168, 170, 171	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
173		eliun 3877	. . . . . 6 |- ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) <-> E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) )
174		elxp 4628	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) )
175		simprl 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. m , k >. )
176		simprrl 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m e. { j } )
177		elsni 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { j } -> m = j )
178	176, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m = j )
179	178	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> <. m , k >. = <. j , k >. )
180	175, 179	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. j , k >. )
181	180, 90	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D = C )
182		simpll 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> ph )
183	122	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> j e. A )
184		simprrr 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> k e. B )
185	182, 183, 184, 26	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> C e. CC )
186	181, 185	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D e. CC )
187	186	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
188	187	exlimdvv 1890	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
189	174, 188	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
190	189	rexlimdva 2587	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
191	173, 190	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
192	191	imp 123	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> D e. CC )
193	148, 162, 172, 192	fprodsplit 11560	. . 3 |- ( ph -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
194	193	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
195	113, 127, 194	3eqtr4d 2213	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   [_csb 3049   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   U_ciun 3873  Disj wdisj 3966   X. cxp 4609   |` cres 4613   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Fincfn 6718   CCcc 7772   x. cmul 7779   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  fprod2d  11586