Theorem fprod2dlemstep 11563

Description: Lemma for fprod2d 11564- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fprod2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fprod2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprod2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
fprod2d.5	|- ( ph -> -. y e. x )
fprod2d.6	|- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
fprod2dlemstep.x	|- ( ph -> x e. Fin )
fprod2d.7	|- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )

Assertion

Ref	Expression
fprod2dlemstep	|- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k, z   z, C   D, j, k   ph, j   x, j   y, j, z   ph, k   x, k   y, k, z   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z, j, k)   A( x, y, z)   B( x, y, j)   C( x, y, j, k)   D( x, y, z)

Proof of Theorem fprod2dlemstep

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		fprod2d.7	. . . 4 |- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
3	1, 2	sylib 121	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
4		nfcv 2308	. . . . . 6 |- F/_ m prod_ k e. B C
5		nfcsb1v 3078	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ B
6		nfcsb1v 3078	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ C
7	5, 6	nfcprod 11496	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
8		csbeq1a 3054	. . . . . . 7 |- ( j = m -> B = [_ m / j ]_ B )
9		csbeq1a 3054	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> C = [_ m / j ]_ C )
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( j = m /\ k e. B ) -> C = [_ m / j ]_ C )
11	8, 10	prodeq12dv 11510	. . . . . 6 |- ( j = m -> prod_ k e. B C = prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C )
12	4, 7, 11	cbvprodi 11501	. . . . 5 |- prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
13		fprod2d.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
14	13	unssbd 3300	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y } C_ A )
15		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	15	snss 3702	. . . . . . . 8 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
17	14, 16	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. A )
18		fprod2d.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
19	18	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
20		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j [_ y / j ]_ B
21	20	nfel1 2319	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ y / j ]_ B e. Fin
22		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> B = [_ y / j ]_ B )
23	22	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( j = y -> ( B e. Fin <-> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
24	21, 23	rspc 2824	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
25	17, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ y / j ]_ B e. Fin )
26		fprod2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
27	26	ralrimivva 2548	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B C e. CC )
28		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ y / j ]_ C
29	28	nfel1 2319	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ y / j ]_ C e. CC
30	20, 29	nfralw 2503	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC
31		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = y -> C = [_ y / j ]_ C )
32	31	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = y -> ( C e. CC <-> [_ y / j ]_ C e. CC ) )
33	22, 32	raleqbidv 2673	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> ( A. k e. B C e. CC <-> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
34	30, 33	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. j e. A A. k e. B C e. CC -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
35	17, 27, 34	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
36	35	r19.21bi 2554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ y / j ]_ C e. CC )
37	25, 36	fprodcl 11548	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
38		csbeq1 3048	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ B = [_ y / j ]_ B )
39		csbeq1 3048	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = y /\ k e. [_ m / j ]_ B ) -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
41	38, 40	prodeq12dv 11510	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
42	41	prodsn 11534	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
43	17, 37, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
44		nfcv 2308	. . . . . . . 8 |- F/_ m [_ y / j ]_ C
45		nfcsb1v 3078	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
46		csbeq1a 3054	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> [_ y / j ]_ C = [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C )
47	44, 45, 46	cbvprodi 11501	. . . . . . 7 |- prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
48		csbeq1 3048	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( 2nd ` z ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
49		snfig 6780	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
50	49	elv 2730	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
51		xpfi 6895	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / j ]_ B e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
52	50, 25, 51	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
53		2ndconst 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
54	17, 53	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
55		fvres 5510	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
56	55	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
57	45	nfel1 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC
58	46	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( [_ y / j ]_ C e. CC <-> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
59	57, 58	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. [_ y / j ]_ B -> ( A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
60	35, 59	mpan9 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC )
61	48, 52, 54, 56, 60	fprodf1o 11529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
62		elxp 4621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
63		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j z = <. m , k >.
64		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j m e. { y }
65	20	nfcri 2302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j k e. [_ y / j ]_ B
66	64, 65	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B )
67	63, 66	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
68	67	nfex 1625	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
69		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) )
70		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> <. m , k >. = <. j , k >. )
71	70	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( z = <. m , k >. <-> z = <. j , k >. ) )
72		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j e. { y } ) )
73		velsn 3593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. { y } <-> j = y )
74	72, 73	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j = y ) )
75	74	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
76	22	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = y -> ( k e. B <-> k e. [_ y / j ]_ B ) )
77	76	pm5.32i 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j = y /\ k e. B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
78	75, 77	bitr4di 197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
79	71, 78	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
80	79	exbidv 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
81	68, 69, 80	cbvexv1 1740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
82	62, 81	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
83		nfv 1516	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
84		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( 2nd ` z )
85	84, 28	nfcsbw 3081	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
86	85	nfeq2 2320	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
87		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ph
88		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
89	88	nfeq2 2320	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
90		fprod2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
91	90	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = C )
92	31	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> C = [_ y / j ]_ C )
93		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. j , k >. ) )
94		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
95		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- k e. _V
96	94, 95	op2nd 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. j , k >. ) = k
97	93, 96	eqtr2di 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
98	97	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> k = ( 2nd ` z ) )
99		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
101	91, 92, 100	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
102	101	expl 376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
103	87, 89, 102	exlimd 1585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
104	83, 86, 103	exlimd 1585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
105	82, 104	syl5bi 151	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
106	105	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
107	106	prodeq2dv 11507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
108	61, 107	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
109	47, 108	syl5eq 2211	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
110	43, 109	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
111	12, 110	syl5eq 2211	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
112	111	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
113	3, 112	oveq12d 5860	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
114		fprod2d.5	. . . . 5 |- ( ph -> -. y e. x )
115		disjsn 3638	. . . . 5 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
116	114, 115	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> ( x i^i { y } ) = (/) )
117		eqidd 2166	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
118		fprod2dlemstep.x	. . . . 5 |- ( ph -> x e. Fin )
119	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> y e. _V )
120		unsnfi 6884	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
121	118, 119, 114, 120	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) e. Fin )
122	13	sselda 3142	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> j e. A )
123	26	anassrs 398	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
124	18, 123	fprodcl 11548	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> prod_ k e. B C e. CC )
125	122, 124	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> prod_ k e. B C e. CC )
126	116, 117, 121, 125	fprodsplit 11538	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
127	126	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
128		eliun 3870	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) <-> E. j e. x z e. ( { j } X. B ) )
129		xp1st 6133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
130		elsni 3594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
132	131	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( ( 1st ` z ) e. x <-> j e. x ) )
133	132	biimparc 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) e. x )
134	133	rexlimiva 2578	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. x z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
135	128, 134	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
136		xp1st 6133	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( 1st ` z ) e. { y } )
137	135, 136	anim12i 336	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
138		elin 3305	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
139		elin 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
140	137, 138, 139	3imtr4i 200	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) )
141	116	eleq2d 2236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( 1st ` z ) e. (/) ) )
142		noel 3413	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1st ` z ) e. (/)
143	142	pm2.21i 636	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. (/) -> z e. (/) )
144	141, 143	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) -> z e. (/) ) )
145	140, 144	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> z e. (/) ) )
146	145	ssrdv 3148	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) )
147		ss0 3449	. . . . 5 |- ( ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
148	146, 147	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
149		iunxun 3945	. . . . . 6 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) )
150		nfcv 2308	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( { j } X. B )
151		nfcv 2308	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { m }
152	151, 5	nfxp 4631	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
153		sneq 3587	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> { j } = { m } )
154	153, 8	xpeq12d 4629	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( { j } X. B ) = ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) )
155	150, 152, 154	cbviun 3903	. . . . . . . 8 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
156		sneq 3587	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> { m } = { y } )
157	156, 38	xpeq12d 4629	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
158	15, 157	iunxsn 3942	. . . . . . . 8 |- U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
159	155, 158	eqtri 2186	. . . . . . 7 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
160	159	uneq2i 3273	. . . . . 6 |- ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
161	149, 160	eqtri 2186	. . . . 5 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
162	161	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
163		snfig 6780	. . . . . . . 8 |- ( j e. _V -> { j } e. Fin )
164	163	elv 2730	. . . . . . 7 |- { j } e. Fin
165	122, 18	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> B e. Fin )
166		xpfi 6895	. . . . . . 7 |- ( ( { j } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
167	164, 165, 166	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
168	167	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
169		disjsnxp 6205	. . . . . 6 |- Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B )
170	169	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
171		iunfidisj 6911	. . . . 5 |- ( ( ( x u. { y } ) e. Fin /\ A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin /\ Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
172	121, 168, 170, 171	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
173		eliun 3870	. . . . . 6 |- ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) <-> E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) )
174		elxp 4621	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) )
175		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. m , k >. )
176		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m e. { j } )
177		elsni 3594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { j } -> m = j )
178	176, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m = j )
179	178	opeq1d 3764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> <. m , k >. = <. j , k >. )
180	175, 179	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. j , k >. )
181	180, 90	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D = C )
182		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> ph )
183	122	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> j e. A )
184		simprrr 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> k e. B )
185	182, 183, 184, 26	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> C e. CC )
186	181, 185	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D e. CC )
187	186	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
188	187	exlimdvv 1885	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
189	174, 188	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
190	189	rexlimdva 2583	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
191	173, 190	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
192	191	imp 123	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> D e. CC )
193	148, 162, 172, 192	fprodsplit 11538	. . 3 |- ( ph -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
194	193	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
195	113, 127, 194	3eqtr4d 2208	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   [_csb 3045   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   U_ciun 3866  Disj wdisj 3959   X. cxp 4602   |` cres 4606   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1stc1st 6106   2ndc2nd 6107   Fincfn 6706   CCcc 7751   x. cmul 7758   prod_cprod 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-proddc 11492

This theorem is referenced by:  fprod2d  11564