Theorem fprod2dlemstep 11787

Description: Lemma for fprod2d 11788- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fprod2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fprod2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprod2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
fprod2d.5	|- ( ph -> -. y e. x )
fprod2d.6	|- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
fprod2dlemstep.x	|- ( ph -> x e. Fin )
fprod2d.7	|- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )

Assertion

Ref	Expression
fprod2dlemstep	|- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k, z   z, C   D, j, k   ph, j   x, j   y, j, z   ph, k   x, k   y, k, z   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z, j, k)   A( x, y, z)   B( x, y, j)   C( x, y, j, k)   D( x, y, z)

Proof of Theorem fprod2dlemstep

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		fprod2d.7	. . . 4 |- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
4		nfcv 2339	. . . . . 6 |- F/_ m prod_ k e. B C
5		nfcsb1v 3117	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ B
6		nfcsb1v 3117	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ C
7	5, 6	nfcprod 11720	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
8		csbeq1a 3093	. . . . . . 7 |- ( j = m -> B = [_ m / j ]_ B )
9		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> C = [_ m / j ]_ C )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( j = m /\ k e. B ) -> C = [_ m / j ]_ C )
11	8, 10	prodeq12dv 11734	. . . . . 6 |- ( j = m -> prod_ k e. B C = prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C )
12	4, 7, 11	cbvprodi 11725	. . . . 5 |- prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
13		fprod2d.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
14	13	unssbd 3341	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y } C_ A )
15		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	15	snss 3757	. . . . . . . 8 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
17	14, 16	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. A )
18		fprod2d.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
19	18	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
20		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j [_ y / j ]_ B
21	20	nfel1 2350	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ y / j ]_ B e. Fin
22		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> B = [_ y / j ]_ B )
23	22	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( j = y -> ( B e. Fin <-> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
24	21, 23	rspc 2862	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
25	17, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ y / j ]_ B e. Fin )
26		fprod2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
27	26	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B C e. CC )
28		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ y / j ]_ C
29	28	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ y / j ]_ C e. CC
30	20, 29	nfralw 2534	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC
31		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = y -> C = [_ y / j ]_ C )
32	31	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = y -> ( C e. CC <-> [_ y / j ]_ C e. CC ) )
33	22, 32	raleqbidv 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> ( A. k e. B C e. CC <-> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
34	30, 33	rspc 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. j e. A A. k e. B C e. CC -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
35	17, 27, 34	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
36	35	r19.21bi 2585	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ y / j ]_ C e. CC )
37	25, 36	fprodcl 11772	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
38		csbeq1 3087	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ B = [_ y / j ]_ B )
39		csbeq1 3087	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = y /\ k e. [_ m / j ]_ B ) -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
41	38, 40	prodeq12dv 11734	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
42	41	prodsn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
43	17, 37, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
44		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ m [_ y / j ]_ C
45		nfcsb1v 3117	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
46		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> [_ y / j ]_ C = [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C )
47	44, 45, 46	cbvprodi 11725	. . . . . . 7 |- prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
48		csbeq1 3087	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( 2nd ` z ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
49		snfig 6873	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
50	49	elv 2767	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
51		xpfi 6993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / j ]_ B e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
52	50, 25, 51	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
53		2ndconst 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
54	17, 53	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
55		fvres 5582	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
57	45	nfel1 2350	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC
58	46	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( [_ y / j ]_ C e. CC <-> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
59	57, 58	rspc 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. [_ y / j ]_ B -> ( A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
60	35, 59	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC )
61	48, 52, 54, 56, 60	fprodf1o 11753	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
62		elxp 4680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
63		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j z = <. m , k >.
64		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j m e. { y }
65	20	nfcri 2333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j k e. [_ y / j ]_ B
66	64, 65	nfan 1579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B )
67	63, 66	nfan 1579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
68	67	nfex 1651	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
69		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) )
70		opeq1 3808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> <. m , k >. = <. j , k >. )
71	70	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( z = <. m , k >. <-> z = <. j , k >. ) )
72		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j e. { y } ) )
73		velsn 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. { y } <-> j = y )
74	72, 73	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j = y ) )
75	74	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
76	22	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = y -> ( k e. B <-> k e. [_ y / j ]_ B ) )
77	76	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j = y /\ k e. B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
78	75, 77	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
79	71, 78	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
80	79	exbidv 1839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
81	68, 69, 80	cbvexv1 1766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
82	62, 81	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
83		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
84		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( 2nd ` z )
85	84, 28	nfcsbw 3121	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
86	85	nfeq2 2351	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
87		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ph
88		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
89	88	nfeq2 2351	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
90		fprod2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
91	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = C )
92	31	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> C = [_ y / j ]_ C )
93		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. j , k >. ) )
94		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
95		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- k e. _V
96	94, 95	op2nd 6205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. j , k >. ) = k
97	93, 96	eqtr2di 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> k = ( 2nd ` z ) )
99		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
101	91, 92, 100	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
102	101	expl 378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
103	87, 89, 102	exlimd 1611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
104	83, 86, 103	exlimd 1611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
105	82, 104	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
106	105	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
107	106	prodeq2dv 11731	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
108	61, 107	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
109	47, 108	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
110	43, 109	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
111	12, 110	eqtrid 2241	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
112	111	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
113	3, 112	oveq12d 5940	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
114		fprod2d.5	. . . . 5 |- ( ph -> -. y e. x )
115		disjsn 3684	. . . . 5 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
116	114, 115	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> ( x i^i { y } ) = (/) )
117		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
118		fprod2dlemstep.x	. . . . 5 |- ( ph -> x e. Fin )
119	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> y e. _V )
120		unsnfi 6980	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
121	118, 119, 114, 120	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) e. Fin )
122	13	sselda 3183	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> j e. A )
123	26	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
124	18, 123	fprodcl 11772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> prod_ k e. B C e. CC )
125	122, 124	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> prod_ k e. B C e. CC )
126	116, 117, 121, 125	fprodsplit 11762	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
127	126	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
128		eliun 3920	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) <-> E. j e. x z e. ( { j } X. B ) )
129		xp1st 6223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
130		elsni 3640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
132	131	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( ( 1st ` z ) e. x <-> j e. x ) )
133	132	biimparc 299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) e. x )
134	133	rexlimiva 2609	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. x z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
135	128, 134	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
136		xp1st 6223	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( 1st ` z ) e. { y } )
137	135, 136	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
138		elin 3346	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
139		elin 3346	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
140	137, 138, 139	3imtr4i 201	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) )
141	116	eleq2d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( 1st ` z ) e. (/) ) )
142		noel 3454	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1st ` z ) e. (/)
143	142	pm2.21i 647	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. (/) -> z e. (/) )
144	141, 143	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) -> z e. (/) ) )
145	140, 144	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> z e. (/) ) )
146	145	ssrdv 3189	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) )
147		ss0 3491	. . . . 5 |- ( ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
148	146, 147	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
149		iunxun 3996	. . . . . 6 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) )
150		nfcv 2339	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( { j } X. B )
151		nfcv 2339	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { m }
152	151, 5	nfxp 4690	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
153		sneq 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> { j } = { m } )
154	153, 8	xpeq12d 4688	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( { j } X. B ) = ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) )
155	150, 152, 154	cbviun 3953	. . . . . . . 8 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
156		sneq 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> { m } = { y } )
157	156, 38	xpeq12d 4688	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
158	15, 157	iunxsn 3993	. . . . . . . 8 |- U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
159	155, 158	eqtri 2217	. . . . . . 7 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
160	159	uneq2i 3314	. . . . . 6 |- ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
161	149, 160	eqtri 2217	. . . . 5 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
162	161	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
163		snfig 6873	. . . . . . . 8 |- ( j e. _V -> { j } e. Fin )
164	163	elv 2767	. . . . . . 7 |- { j } e. Fin
165	122, 18	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> B e. Fin )
166		xpfi 6993	. . . . . . 7 |- ( ( { j } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
167	164, 165, 166	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
168	167	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
169		disjsnxp 6295	. . . . . 6 |- Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B )
170	169	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
171		iunfidisj 7012	. . . . 5 |- ( ( ( x u. { y } ) e. Fin /\ A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin /\ Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
172	121, 168, 170, 171	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
173		eliun 3920	. . . . . 6 |- ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) <-> E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) )
174		elxp 4680	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) )
175		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. m , k >. )
176		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m e. { j } )
177		elsni 3640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { j } -> m = j )
178	176, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m = j )
179	178	opeq1d 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> <. m , k >. = <. j , k >. )
180	175, 179	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. j , k >. )
181	180, 90	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D = C )
182		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> ph )
183	122	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> j e. A )
184		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> k e. B )
185	182, 183, 184, 26	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> C e. CC )
186	181, 185	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D e. CC )
187	186	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
188	187	exlimdvv 1912	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
189	174, 188	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
190	189	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
191	173, 190	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
192	191	imp 124	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> D e. CC )
193	148, 162, 172, 192	fprodsplit 11762	. . 3 |- ( ph -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
194	193	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
195	113, 127, 194	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   [_csb 3084   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   <.cop 3625   U_ciun 3916  Disj wdisj 4010   X. cxp 4661   |` cres 4665   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1stc1st 6196   2ndc2nd 6197   Fincfn 6799   CCcc 7877   x. cmul 7884   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716

This theorem is referenced by:  fprod2d  11788