Theorem oasuc 6627

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Proof of Theorem oasuc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuc 4597	. . . . . 6 |- ( B e. On -> suc B e. On )
2		oav2 6626	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ suc B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
4		df-suc 4466	. . . . . . . . . 10 |- suc B = ( B u. { B } )
5		iuneq1 3981	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B = ( B u. { B } ) -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x )
7		iunxun 4048	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
8	6, 7	eqtri 2250	. . . . . . . 8 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
9		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
10		suceq 4497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o x ) = ( A +o B ) -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
12	11	iunxsng 4044	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> U_ x e. { B } suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
13	12	uneq2d 3359	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
14	8, 13	eqtrid 2274	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
15	14	uneq2d 3359	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
17	3, 16	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
18		unass 3362	. . . 4 |- ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
19	17, 18	eqtr4di 2280	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
20		oav2 6626	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )
21	20	uneq1d 3358	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
22	19, 21	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) )
23		sssucid 4510	. . 3 |- ( A +o B ) C_ suc ( A +o B )
24		ssequn1 3375	. . 3 |- ( ( A +o B ) C_ suc ( A +o B ) <-> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B ) )
25	23, 24	mpbi 145	. 2 |- ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B )
26	22, 25	eqtrdi 2278	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   C_ wss 3198   {csn 3667   U_ciun 3968   Oncon0 4458   suc csuc 4460  (class class class)co 6013   +o coa 6574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581

This theorem is referenced by:  onasuc  6629  nnaordi  6671