Theorem oasuc 6519

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Proof of Theorem oasuc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuc 4534	. . . . . 6 |- ( B e. On -> suc B e. On )
2		oav2 6518	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ suc B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
4		df-suc 4403	. . . . . . . . . 10 |- suc B = ( B u. { B } )
5		iuneq1 3926	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B = ( B u. { B } ) -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x )
7		iunxun 3993	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
8	6, 7	eqtri 2214	. . . . . . . 8 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
9		oveq2 5927	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
10		suceq 4434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o x ) = ( A +o B ) -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
12	11	iunxsng 3989	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> U_ x e. { B } suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
13	12	uneq2d 3314	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
14	8, 13	eqtrid 2238	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
15	14	uneq2d 3314	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
17	3, 16	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
18		unass 3317	. . . 4 |- ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
19	17, 18	eqtr4di 2244	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
20		oav2 6518	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )
21	20	uneq1d 3313	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
22	19, 21	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) )
23		sssucid 4447	. . 3 |- ( A +o B ) C_ suc ( A +o B )
24		ssequn1 3330	. . 3 |- ( ( A +o B ) C_ suc ( A +o B ) <-> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B ) )
25	23, 24	mpbi 145	. 2 |- ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B )
26	22, 25	eqtrdi 2242	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   C_ wss 3154   {csn 3619   U_ciun 3913   Oncon0 4395   suc csuc 4397  (class class class)co 5919   +o coa 6468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475

This theorem is referenced by:  onasuc  6521  nnaordi  6563