Theorem oasuc 6368

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Proof of Theorem oasuc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4425	. . . . . 6 |- ( B e. On -> suc B e. On )
2		oav2 6367	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ suc B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
3	1, 2	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
4		df-suc 4301	. . . . . . . . . 10 |- suc B = ( B u. { B } )
5		iuneq1 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B = ( B u. { B } ) -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x )
7		iunxun 3900	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
8	6, 7	eqtri 2161	. . . . . . . 8 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
9		oveq2 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
10		suceq 4332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o x ) = ( A +o B ) -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
12	11	iunxsng 3896	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> U_ x e. { B } suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
13	12	uneq2d 3235	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
14	8, 13	syl5eq 2185	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
15	14	uneq2d 3235	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
16	15	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
17	3, 16	eqtrd 2173	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
18		unass 3238	. . . 4 |- ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
19	17, 18	eqtr4di 2191	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
20		oav2 6367	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )
21	20	uneq1d 3234	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
22	19, 21	eqtr4d 2176	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) )
23		sssucid 4345	. . 3 |- ( A +o B ) C_ suc ( A +o B )
24		ssequn1 3251	. . 3 |- ( ( A +o B ) C_ suc ( A +o B ) <-> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B ) )
25	23, 24	mpbi 144	. 2 |- ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B )
26	22, 25	eqtrdi 2189	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   C_ wss 3076   {csn 3532   U_ciun 3821   Oncon0 4293   suc csuc 4295  (class class class)co 5782   +o coa 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325

This theorem is referenced by:  onasuc  6370  nnaordi  6412