Theorem fsum2dlemstep 12201

Description: Lemma for fsum2d 12202- induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fsum2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fsum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fsum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
fsum2d.5	|- ( ph -> -. y e. x )
fsum2d.6	|- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
fsum2dlemstep.x	|- ( ph -> x e. Fin )
fsum2d.7	|- ( ps <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )

Assertion

Ref	Expression
fsum2dlemstep	|- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   j, k, x, y, z, A   B, k, x, y, z   D, j, k, x, y   x, C, y, z   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z, j, k)   B( j)   C( j, k)   D( z)

Proof of Theorem fsum2dlemstep

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		fsum2d.7	. . . 4 |- ( ps <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
4		nfcv 2392	. . . . . 6 |- F/_ m sum_ k e. B C
5		nfcsb1v 3180	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ B
6		nfcsb1v 3180	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ C
7	5, 6	nfsum 12123	. . . . . 6 |- F/_ j sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
8		csbeq1a 3156	. . . . . . 7 |- ( j = m -> B = [_ m / j ]_ B )
9		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> C = [_ m / j ]_ C )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( j = m /\ k e. B ) -> C = [_ m / j ]_ C )
11	8, 10	sumeq12dv 12138	. . . . . 6 |- ( j = m -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C )
12	4, 7, 11	cbvsumi 12128	. . . . 5 |- sum_ j e. { y } sum_ k e. B C = sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
13		fsum2d.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
14	13	unssbd 3407	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y } C_ A )
15		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	15	snss 3850	. . . . . . . 8 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
17	14, 16	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. A )
18		fsum2d.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
19	18	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
20		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j [_ y / j ]_ B
21	20	nfel1 2403	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ y / j ]_ B e. Fin
22		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> B = [_ y / j ]_ B )
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( j = y -> ( B e. Fin <-> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
24	21, 23	rspc 2923	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
25	17, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ y / j ]_ B e. Fin )
26		fsum2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
27	26	ralrimivva 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B C e. CC )
28		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ y / j ]_ C
29	28	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ y / j ]_ C e. CC
30	20, 29	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC
31		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = y -> C = [_ y / j ]_ C )
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = y -> ( C e. CC <-> [_ y / j ]_ C e. CC ) )
33	22, 32	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> ( A. k e. B C e. CC <-> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
34	30, 33	rspc 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. j e. A A. k e. B C e. CC -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
35	17, 27, 34	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
36	35	r19.21bi 2638	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ y / j ]_ C e. CC )
37	25, 36	fsumcl 12167	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
38		csbeq1 3150	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ B = [_ y / j ]_ B )
39		csbeq1 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = y /\ k e. [_ m / j ]_ B ) -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
41	38, 40	sumeq12dv 12138	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
42	41	sumsn 12178	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) -> sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
43	17, 37, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
44		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ m [_ y / j ]_ C
45		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
46		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> [_ y / j ]_ C = [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C )
47	44, 45, 46	cbvsumi 12128	. . . . . . 7 |- sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = sum_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
48		csbeq1 3150	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( 2nd ` z ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
49		snfig 7103	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
50	49	elv 2825	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
51		xpfi 7239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / j ]_ B e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
52	50, 25, 51	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
53		2ndconst 6458	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
54	17, 53	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
55		fvres 5719	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
57	45	nfel1 2403	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC
58	46	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( [_ y / j ]_ C e. CC <-> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
59	57, 58	rspc 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. [_ y / j ]_ B -> ( A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
60	35, 59	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC )
61	48, 52, 54, 56, 60	fsumf1o 12157	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
62		elxp 4791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
63		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j z = <. m , k >.
64		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j m e. { y }
65	20	nfcri 2386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j k e. [_ y / j ]_ B
66	64, 65	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B )
67	63, 66	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
68	67	nfex 1690	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
69		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) )
70		opeq1 3904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> <. m , k >. = <. j , k >. )
71	70	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( z = <. m , k >. <-> z = <. j , k >. ) )
72		velsn 3726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. { y } <-> m = y )
73	72	anbi1i 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( m = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
74		eqtr2 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = j /\ m = y ) -> j = y )
75	74, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m = j /\ m = y ) -> B = [_ y / j ]_ B )
76	75	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m = j /\ m = y ) -> ( k e. B <-> k e. [_ y / j ]_ B ) )
77	76	pm5.32da 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( ( m = y /\ k e. B ) <-> ( m = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
78	73, 77	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( m = y /\ k e. B ) ) )
79		equequ1 1764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( m = y <-> j = y ) )
80	79	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m = y /\ k e. B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
81	78, 80	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
82	71, 81	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
83	82	exbidv 1878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
84	68, 69, 83	cbvex 1809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
85	62, 84	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
86		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
87		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( 2nd ` z )
88	87, 28	nfcsb 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
89	88	nfeq2 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
90		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ph
91		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
92	91	nfeq2 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
93		fsum2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
94	93	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = C )
95	31	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> C = [_ y / j ]_ C )
96		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. j , k >. ) )
97		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
98		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- k e. _V
99	97, 98	op2nd 6381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. j , k >. ) = k
100	96, 99	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
101	100	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> k = ( 2nd ` z ) )
102		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
104	94, 95, 103	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
105	104	expl 378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
106	90, 92, 105	exlimd 1650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
107	86, 89, 106	exlimd 1650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
108	85, 107	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
109	108	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
110	109	sumeq2dv 12134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
111	61, 110	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
112	47, 111	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
113	43, 112	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
114	12, 113	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. { y } sum_ k e. B C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
115	114	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. { y } sum_ k e. B C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
116	3, 115	oveq12d 6103	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ j e. x sum_ k e. B C + sum_ j e. { y } sum_ k e. B C ) = ( sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D + sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
117		fsum2d.5	. . . . 5 |- ( ph -> -. y e. x )
118		disjsn 3771	. . . . 5 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
119	117, 118	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> ( x i^i { y } ) = (/) )
120		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
121		fsum2dlemstep.x	. . . . 5 |- ( ph -> x e. Fin )
122	50	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { y } e. Fin )
123		unfidisj 7229	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ { y } e. Fin /\ ( x i^i { y } ) = (/) ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
124	121, 122, 119, 123	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) e. Fin )
125	13	sselda 3248	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> j e. A )
126	26	anassrs 404	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
127	18, 126	fsumcl 12167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
128	125, 127	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> sum_ k e. B C e. CC )
129	119, 120, 124, 128	fsumsplit 12174	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = ( sum_ j e. x sum_ k e. B C + sum_ j e. { y } sum_ k e. B C ) )
130	129	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = ( sum_ j e. x sum_ k e. B C + sum_ j e. { y } sum_ k e. B C ) )
131		eliun 4016	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) <-> E. j e. x z e. ( { j } X. B ) )
132		xp1st 6399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
133		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
135	134	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) = j )
136		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> j e. x )
137	135, 136	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) e. x )
138	137	rexlimiva 2663	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. x z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
139	131, 138	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
140		xp1st 6399	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( 1st ` z ) e. { y } )
141	139, 140	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
142		elin 3412	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
143		elin 3412	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
144	141, 142, 143	3imtr4i 201	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) )
145	119	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( 1st ` z ) e. (/) ) )
146		noel 3525	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1st ` z ) e. (/)
147	146	pm2.21i 655	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. (/) -> z e. (/) )
148	145, 147	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) -> z e. (/) ) )
149	144, 148	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> z e. (/) ) )
150	149	ssrdv 3254	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) )
151		ss0 3563	. . . . 5 |- ( ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
152	150, 151	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
153		iunxun 4092	. . . . . 6 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) )
154		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( { j } X. B )
155		nfcv 2392	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { m }
156	155, 5	nfxp 4801	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
157		sneq 3720	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> { j } = { m } )
158	157, 8	xpeq12d 4799	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( { j } X. B ) = ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) )
159	154, 156, 158	cbviun 4049	. . . . . . . 8 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
160		sneq 3720	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> { m } = { y } )
161	160, 38	xpeq12d 4799	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
162	15, 161	iunxsn 4089	. . . . . . . 8 |- U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
163	159, 162	eqtri 2259	. . . . . . 7 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
164	163	uneq2i 3380	. . . . . 6 |- ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
165	153, 164	eqtri 2259	. . . . 5 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
166	165	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
167		snfig 7103	. . . . . . . 8 |- ( j e. _V -> { j } e. Fin )
168	167	elv 2825	. . . . . . 7 |- { j } e. Fin
169	125, 18	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> B e. Fin )
170		xpfi 7239	. . . . . . 7 |- ( ( { j } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
171	168, 169, 170	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
172	171	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
173		disjsnxp 6473	. . . . . 6 |- Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B )
174	173	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) )
175		iunfidisj 7260	. . . . 5 |- ( ( ( x u. { y } ) e. Fin /\ A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin /\ Disj j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
176	124, 172, 174, 175	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
177		eliun 4016	. . . . . 6 |- ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) <-> E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) )
178		elxp 4791	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) )
179		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. m , k >. )
180		simprrl 545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m e. { j } )
181		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { j } -> m = j )
182	180, 181	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m = j )
183	182	opeq1d 3910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> <. m , k >. = <. j , k >. )
184	179, 183	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. j , k >. )
185	184, 93	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D = C )
186		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> ph )
187	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> j e. A )
188		simprrr 546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> k e. B )
189	186, 187, 188, 26	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> C e. CC )
190	185, 189	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D e. CC )
191	190	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
192	191	exlimdvv 1953	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
193	178, 192	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
194	193	rexlimdva 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
195	177, 194	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
196	195	imp 124	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> D e. CC )
197	152, 166, 176, 196	fsumsplit 12174	. . 3 |- ( ph -> sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D + sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
198	197	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D + sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
199	116, 130, 198	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   [_csb 3147   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   U_ciun 4012  Disj wdisj 4106   X. cxp 4772   |` cres 4776   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1stc1st 6372   2ndc2nd 6373   Fincfn 7022   CCcc 8177   + caddc 8182   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  fsum2d  12202