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Theorem fsum2dlemstep 11442
Description: Lemma for fsum2d 11443- induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fsum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
fsum2d.5  |-  ( ph  ->  -.  y  e.  x
)
fsum2d.6  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  C_  A )
fsum2dlemstep.x  |-  ( ph  ->  x  e.  Fin )
fsum2d.7  |-  ( ps  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
Assertion
Ref Expression
fsum2dlemstep  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    j, k, x, y, z, A    B, k, x, y, z    D, j, k, x, y    x, C, y, z    ph, j,
k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, z, j, k)    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fsum2dlemstep
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 fsum2d.7 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
31, 2sylib 122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
4 nfcv 2319 . . . . . 6  |-  F/_ m sum_ k  e.  B  C
5 nfcsb1v 3091 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ B
6 nfcsb1v 3091 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ C
75, 6nfsum 11365 . . . . . 6  |-  F/_ j sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C
8 csbeq1a 3067 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B )
9 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  C  =  [_ m  /  j ]_ C )
109adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  m  /\  k  e.  B )  ->  C  =  [_ m  /  j ]_ C
)
118, 10sumeq12dv 11380 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C )
124, 7, 11cbvsumi 11370 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  { y } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ m  e.  {
y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C
13 fsum2d.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  C_  A )
1413unssbd 3314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { y }  C_  A )
15 vex 2741 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1615snss 3728 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
1714, 16sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
18 fsum2d.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
1918ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  Fin )
20 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j [_ y  /  j ]_ B
2120nfel1 2330 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
[_ y  /  j ]_ B  e.  Fin
22 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  y  ->  B  =  [_ y  /  j ]_ B )
2322eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  y  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ y  / 
j ]_ B  e.  Fin ) )
2421, 23rspc 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ y  /  j ]_ B  e.  Fin ) )
2517, 19, 24sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ y  /  j ]_ B  e.  Fin )
26 fsum2d.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
2726ralrimivva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  B  C  e.  CC )
28 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ y  /  j ]_ C
2928nfel1 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
[_ y  /  j ]_ C  e.  CC
3020, 29nfralxy 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC
31 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  y  ->  C  =  [_ y  /  j ]_ C )
3231eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  y  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ y  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
3322, 32raleqbidv 2685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  y  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
3430, 33rspc 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC ) )
3517, 27, 34sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
3635r19.21bi 2565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
3725, 36fsumcl 11408 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
38 csbeq1 3061 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  [_ m  /  j ]_ B  =  [_ y  /  j ]_ B )
39 csbeq1 3061 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  [_ m  /  j ]_ C  =  [_ y  /  j ]_ C )
4039adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  y  /\  k  e.  [_ m  / 
j ]_ B )  ->  [_ m  /  j ]_ C  =  [_ y  /  j ]_ C
)
4138, 40sumeq12dv 11380 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  sum_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
4241sumsn 11419 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  sum_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
4317, 37, 42syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C  =  sum_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
44 nfcv 2319 . . . . . . . 8  |-  F/_ m [_ y  /  j ]_ C
45 nfcsb1v 3091 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
46 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  [_ y  /  j ]_ C  =  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
4744, 45, 46cbvsumi 11370 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  / 
j ]_ C  =  sum_ m  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
48 csbeq1 3061 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( 2nd `  z
)  ->  [_ m  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
49 snfig 6814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  _V  ->  { y }  e.  Fin )
5049elv 2742 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
51 xpfi 6929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  [_ y  / 
j ]_ B  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  e.  Fin )
5250, 25, 51sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B )  e. 
Fin )
53 2ndconst 6223 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) ) : ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y  /  j ]_ B )
5417, 53syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) : ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y  /  j ]_ B
)
55 fvres 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  ->  ( ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
5655adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) `  z )  =  ( 2nd `  z ) )
5745nfel1 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC
5846eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( [_ y  /  j ]_ C  e.  CC  <->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
)
5957, 58rspc 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  [_ y  / 
j ]_ B  ->  ( A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC ) )
6035, 59mpan9 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
6148, 52, 54, 56, 60fsumf1o 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
62 elxp 4644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  <->  E. m E. k
( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) ) )
63 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j  z  =  <. m ,  k >.
64 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  m  e.  { y }
6520nfcri 2313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  k  e.  [_ y  /  j ]_ B
6664, 65nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j ( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )
6763, 66nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ j ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )
6867nfex 1637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j E. k ( z  =  <. m ,  k
>.  /\  ( m  e. 
{ y }  /\  k  e.  [_ y  / 
j ]_ B ) )
69 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )
70 opeq1 3779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  <. m ,  k >.  =  <. j ,  k >. )
7170eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  j  ->  (
z  =  <. m ,  k >.  <->  z  =  <. j ,  k >.
) )
72 velsn 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  { y }  <-> 
m  =  y )
7372anbi1i 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B )  <->  ( m  =  y  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) )
74 eqtr2 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  j  /\  m  =  y )  ->  j  =  y )
7574, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  j  /\  m  =  y )  ->  B  =  [_ y  /  j ]_ B
)
7675eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  j  /\  m  =  y )  ->  ( k  e.  B  <->  k  e.  [_ y  / 
j ]_ B ) )
7776pm5.32da 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  =  y  /\  k  e.  B
)  <->  ( m  =  y  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) ) )
7873, 77bitr4id 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  <->  ( m  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
79 equequ1 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
m  =  y  <->  j  =  y ) )
8079anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  =  y  /\  k  e.  B
)  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
8178, 80bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
8271, 81anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  j  ->  (
( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )  <->  ( z  =  <. j ,  k
>.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) ) )
8382exbidv 1825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  j  ->  ( E. k ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) )  <->  E. k
( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
) ) )
8468, 69, 83cbvex 1756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m E. k ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )  <->  E. j E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) ) )
8562, 84bitri 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  <->  E. j E. k
( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
) )
86 nfv 1528 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
ph
87 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j
( 2nd `  z
)
8887, 28nfcsb 3095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
8988nfeq2 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  D  =  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C
90 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
ph
91 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
9291nfeq2 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  D  =  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C
93 fsum2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
9493ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  C )
9531ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  C  =  [_ y  /  j ]_ C )
96 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  ( 2nd `  <. j ,  k
>. ) )
97 vex 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
98 vex 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  k  e. 
_V
9997, 98op2nd 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. j ,  k
>. )  =  k
10096, 99eqtr2di 2227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
101100ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
102 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2nd `  z
)  ->  [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
103101, 102syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
10494, 95, 1033eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
105104expl 378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10690, 92, 105exlimd 1597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. k ( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10786, 89, 106exlimd 1597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10885, 107biimtrid 152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
109108imp 124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
110109sumeq2dv 11376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) D  = 
sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C )
11161, 110eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11247, 111eqtrid 2222 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11343, 112eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { y } sum_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C  =  sum_ z  e.  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11412, 113eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
115114adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
1163, 115oveq12d 5893 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  +  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
117 fsum2d.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  y  e.  x
)
118 disjsn 3655 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
119117, 118sylibr 134 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  {
y } )  =  (/) )
120 eqidd 2178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  =  ( x  u.  {
y } ) )
121 fsum2dlemstep.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  Fin )
12250a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y }  e.  Fin )
123 unfidisj 6921 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  { y }  e.  Fin  /\  ( x  i^i  {
y } )  =  (/) )  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
124121, 122, 119, 123syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin )
12513sselda 3156 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
j  e.  A )
12626anassrs 400 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
12718, 126fsumcl 11408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
128125, 127syldan 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
129119, 120, 124, 128fsumsplit 11415 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C )
)
130129adantr 276 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ j  e.  {
y } sum_ k  e.  B  C )
)
131 eliun 3891 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  x  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
132 xp1st 6166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
133 elsni 3611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
135134adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  ( 1st `  z )  =  j )
136 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  j  e.  x )
137135, 136eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  x )
138137rexlimiva 2589 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  x  z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  x )
139131, 138sylbi 121 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  x )
140 xp1st 6166 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  ->  ( 1st `  z )  e.  {
y } )
141139, 140anim12i 338 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
( ( 1st `  z
)  e.  x  /\  ( 1st `  z )  e.  { y } ) )
142 elin 3319 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  i^i  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  <->  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B ) ) )
143 elin 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( x  i^i 
{ y } )  <-> 
( ( 1st `  z
)  e.  x  /\  ( 1st `  z )  e.  { y } ) )
144141, 142, 1433imtr4i 201 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  i^i  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( x  i^i  {
y } ) )
145119eleq2d 2247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  ( x  i^i  { y } )  <->  ( 1st `  z
)  e.  (/) ) )
146 noel 3427 . . . . . . . . 9  |-  -.  ( 1st `  z )  e.  (/)
147146pm2.21i 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st `  z )  e.  (/)  ->  z  e.  (/) )
148145, 147biimtrdi 163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  ( x  i^i  { y } )  ->  z  e.  (/) ) )
149144, 148syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
z  e.  (/) ) )
150149ssrdv 3162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  C_  (/) )
151 ss0 3464 . . . . 5  |-  ( (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  C_  (/) 
->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
152150, 151syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
153 iunxun 3967 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B ) )
154 nfcv 2319 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m
( { j }  X.  B )
155 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { m }
156155, 5nfxp 4654 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )
157 sneq 3604 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  { j }  =  { m } )
158157, 8xpeq12d 4652 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) )
159154, 156, 158cbviun 3924 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B )  =  U_ m  e.  { y }  ( { m }  X.  [_ m  / 
j ]_ B )
160 sneq 3604 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  { m }  =  { y } )
161160, 38xpeq12d 4652 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
16215, 161iunxsn 3964 . . . . . . . 8  |-  U_ m  e.  { y }  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )
163159, 162eqtri 2198 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )
164163uneq2i 3287 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B ) )  =  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
165153, 164eqtri 2198 . . . . 5  |-  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
166165a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  =  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) )
167 snfig 6814 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  _V  ->  { j }  e.  Fin )
168167elv 2742 . . . . . . 7  |-  { j }  e.  Fin
169125, 18syldan 282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  Fin )
170 xpfi 6929 . . . . . . 7  |-  ( ( { j }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { j }  X.  B )  e.  Fin )
171168, 169, 170sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( { j }  X.  B )  e. 
Fin )
172171ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
173 disjsnxp 6238 . . . . . 6  |- Disj  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )
174173a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
175 iunfidisj 6945 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin  /\  A. j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  e.  Fin  /\ Disj  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
176124, 172, 174, 175syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
177 eliun 3891 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  ( x  u.  {
y } ) z  e.  ( { j }  X.  B ) )
178 elxp 4644 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  <->  E. m E. k ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { j }  /\  k  e.  B ) ) )
179 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  z  =  <. m ,  k >. )
180 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  m  e.  {
j } )
181 elsni 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  m  =  j )
182180, 181syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  m  =  j )
183182opeq1d 3785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  <. m ,  k
>.  =  <. j ,  k >. )
184179, 183eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  z  =  <. j ,  k >. )
185184, 93syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  D  =  C )
186 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  ph )
187125adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  j  e.  A
)
188 simprrr 540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  k  e.  B
)
189186, 187, 188, 26syl12anc 1236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  C  e.  CC )
190185, 189eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  D  e.  CC )
191190ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) )  ->  D  e.  CC )
)
192191exlimdvv 1897 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( E. m E. k ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) )  ->  D  e.  CC )
)
193178, 192biimtrid 152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC ) )
194193rexlimdva 2594 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( x  u.  {
y } ) z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC ) )
195177, 194biimtrid 152 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC )
)
196195imp 124 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )  ->  D  e.  CC )
197152, 166, 176, 196fsumsplit 11415 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D  =  ( sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  +  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
198197adantr 276 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D  =  ( sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  +  sum_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
199116, 130, 1983eqtr4d 2220 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2738   [_csb 3058    u. cun 3128    i^i cin 3129    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   <.cop 3596   U_ciun 3887  Disj wdisj 3981    X. cxp 4625    |` cres 4629   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1stc1st 6139   2ndc2nd 6140   Fincfn 6740   CCcc 7809    + caddc 7814   sum_csu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  fsum2d  11443
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