ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpintm Unicode version

Theorem ixpintm 6626
Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
ixpintm  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^| B  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  y )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y,
z, B
Allowed substitution hint:    A( z)

Proof of Theorem ixpintm
StepHypRef Expression
1 ixpeq2 6613 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  |^| B  =  |^|_ y  e.  B  y  ->  X_ x  e.  A  |^| B  = 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  y )
2 intiin 3874 . . . 4  |-  |^| B  =  |^|_ y  e.  B  y
32a1i 9 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  |^| B  =  |^|_ y  e.  B  y )
41, 3mprg 2492 . 2  |-  X_ x  e.  A  |^| B  = 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  y
5 ixpiinm 6625 . 2  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  y  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  y )
64, 5syl5eq 2185 1  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^| B  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   |^|cint 3778   |^|_ciin 3821   X_cixp 6599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iin 3823  df-br 3937  df-opab 3997  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-fv 5138  df-ixp 6600
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator