Theorem ixpintm 6573

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpintm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hint:   A( z)

Proof of Theorem ixpintm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 6560	. . 3 |- ( A. x e. A |^| B = |^|_ y e. B y -> X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y )
2		intiin 3833	. . . 4 |- |^| B = |^|_ y e. B y
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> |^| B = |^|_ y e. B y )
4	1, 3	mprg 2463	. 2 |- X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y
5		ixpiinm 6572	. 2 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B y = |^|_ y e. B X_ x e. A y )
6	4, 5	syl5eq 2159	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   |^|cint 3737   |^|_ciin 3780   X_cixp 6546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iin 3782  df-br 3896  df-opab 3950  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-fv 5089  df-ixp 6547

This theorem is referenced by: (None)