Theorem ixpintm 6889

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpintm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hint:   A( z)

Proof of Theorem ixpintm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 6876	. . 3 |- ( A. x e. A |^| B = |^|_ y e. B y -> X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y )
2		intiin 4023	. . . 4 |- |^| B = |^|_ y e. B y
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> |^| B = |^|_ y e. B y )
4	1, 3	mprg 2587	. 2 |- X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y
5		ixpiinm 6888	. 2 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B y = |^|_ y e. B X_ x e. A y )
6	4, 5	eqtrid 2274	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   |^|cint 3926   |^|_ciin 3969   X_cixp 6862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iin 3971  df-br 4087  df-opab 4149  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ixp 6863

This theorem is referenced by: (None)