Theorem ixpintm 6682

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpintm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hint:   A( z)

Proof of Theorem ixpintm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 6669	. . 3 |- ( A. x e. A |^| B = |^|_ y e. B y -> X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y )
2		intiin 3914	. . . 4 |- |^| B = |^|_ y e. B y
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> |^| B = |^|_ y e. B y )
4	1, 3	mprg 2521	. 2 |- X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y
5		ixpiinm 6681	. 2 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B y = |^|_ y e. B X_ x e. A y )
6	4, 5	syl5eq 2209	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   |^|cint 3818   |^|_ciin 3861   X_cixp 6655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iin 3863  df-br 3977  df-opab 4038  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-fv 5190  df-ixp 6656

This theorem is referenced by: (None)