Theorem ixpintm 6739

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpintm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hint:   A( z)

Proof of Theorem ixpintm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 6726	. . 3 |- ( A. x e. A |^| B = |^|_ y e. B y -> X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y )
2		intiin 3953	. . . 4 |- |^| B = |^|_ y e. B y
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> |^| B = |^|_ y e. B y )
4	1, 3	mprg 2544	. 2 |- X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y
5		ixpiinm 6738	. 2 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B y = |^|_ y e. B X_ x e. A y )
6	4, 5	eqtrid 2232	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   |^|cint 3856   |^|_ciin 3899   X_cixp 6712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iin 3901  df-br 4016  df-opab 4077  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ixp 6713

This theorem is referenced by: (None)