Theorem ixpintm 6619

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpintm	⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 X𝑥 ∈ 𝐴 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem ixpintm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 6606	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦)
2		intiin 3867	. . . 4 ⊢ ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦)
4	1, 3	mprg 2489	. 2 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦
5		ixpiinm 6618	. 2 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 X𝑥 ∈ 𝐴 𝑦)
6	4, 5	syl5eq 2184	1 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 X𝑥 ∈ 𝐴 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∩ cint 3771  ∩ ciin 3814  Xcixp 6592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iin 3816  df-br 3930  df-opab 3990  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131  df-ixp 6593

This theorem is referenced by: (None)