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Theorem ixpiinm 6783
Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
ixpiinm  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y,
z, B
Allowed substitution hints:    A( z)    C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2257 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
21cbvexv 1933 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  B  <->  E. z  z  e.  B
)
3 r19.28mv 3543 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) ) )
4 eliin 3921 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C
) )
54elv 2767 . . . . . 6  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C )
6 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
76elixp 6764 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
87ralbii 2503 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
95, 8bitri 184 . . . . 5  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C ) )
106elixp 6764 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C ) )
11 vex 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
126, 11fvex 5578 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
13 eliin 3921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
( f `  x
)  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  ( f `  x )  e.  C
) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
1514ralbii 2503 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
16 ralcom 2660 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
f `  x )  e.  C  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1715, 16bitri 184 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1817anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) )
1910, 18bitri 184 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  C ) )
203, 9, 193bitr4g 223 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
) )
2120eqrdv 2194 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  B  -> 
|^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
)
222, 21sylbir 135 . 2  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
|^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
)
2322eqcomd 2202 1  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1506    e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   |^|_ciin 3917    Fn wfn 5253   ` cfv 5258   X_cixp 6757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iin 3919  df-br 4034  df-opab 4095  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ixp 6758
This theorem is referenced by:  ixpintm  6784
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