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Theorem ixpiinm 6584
Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
ixpiinm  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y,
z, B
Allowed substitution hints:    A( z)    C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2176 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
21cbvexv 1870 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  B  <->  E. z  z  e.  B
)
3 r19.28mv 3423 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) ) )
4 eliin 3786 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C
) )
54elv 2662 . . . . . 6  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C )
6 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
76elixp 6565 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
87ralbii 2416 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
95, 8bitri 183 . . . . 5  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C ) )
106elixp 6565 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C ) )
11 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
126, 11fvex 5407 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
13 eliin 3786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
( f `  x
)  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  ( f `  x )  e.  C
) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
1514ralbii 2416 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
16 ralcom 2569 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
f `  x )  e.  C  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1715, 16bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1817anbi2i 450 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) )
1910, 18bitri 183 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  C ) )
203, 9, 193bitr4g 222 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
) )
2120eqrdv 2113 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  B  -> 
|^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
)
222, 21sylbir 134 . 2  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
|^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
)
2322eqcomd 2121 1  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   _Vcvv 2658   |^|_ciin 3782    Fn wfn 5086   ` cfv 5091   X_cixp 6558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iin 3784  df-br 3898  df-opab 3958  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-fv 5099  df-ixp 6559
This theorem is referenced by:  ixpintm  6585
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