Theorem ixpiinm 6626

Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpiinm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2201	. . . 4 |- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
2	1	cbvexv 1891	. . 3 |- ( E. y y e. B <-> E. z z e. B )
3		r19.28mv 3460	. . . . 5 |- ( E. y y e. B -> ( A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
4		eliin 3826	. . . . . . 7 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C ) )
5	4	elv 2693	. . . . . 6 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C )
6		vex 2692	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7	6	elixp 6607	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
8	7	ralbii 2444	. . . . . 6 |- ( A. y e. B f e. X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
9	5, 8	bitri 183	. . . . 5 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	6	elixp 6607	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) )
11		vex 2692	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
12	6, 11	fvex 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( f ` x ) e. _V
13		eliin 3826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. _V -> ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C )
15	14	ralbii 2444	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C )
16		ralcom 2597	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
17	15, 16	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
18	17	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
19	10, 18	bitri 183	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
20	3, 9, 19	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( E. y y e. B -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C ) )
21	20	eqrdv 2138	. . 3 |- ( E. y y e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
22	2, 21	sylbir 134	. 2 |- ( E. z z e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
23	22	eqcomd 2146	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   |^|_ciin 3822   Fn wfn 5126   ` cfv 5131   X_cixp 6600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iin 3824  df-br 3938  df-opab 3998  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-ixp 6601

This theorem is referenced by:  ixpintm  6627