Theorem ixpiinm 6892

Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpiinm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2292	. . . 4 |- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
2	1	cbvexv 1967	. . 3 |- ( E. y y e. B <-> E. z z e. B )
3		r19.28mv 3587	. . . . 5 |- ( E. y y e. B -> ( A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
4		eliin 3975	. . . . . . 7 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C ) )
5	4	elv 2806	. . . . . 6 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C )
6		vex 2805	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7	6	elixp 6873	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
8	7	ralbii 2538	. . . . . 6 |- ( A. y e. B f e. X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . . 5 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	6	elixp 6873	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) )
11		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
12	6, 11	fvex 5659	. . . . . . . . . 10 |- ( f ` x ) e. _V
13		eliin 3975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. _V -> ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C )
15	14	ralbii 2538	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C )
16		ralcom 2696	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
17	15, 16	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
18	17	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
19	10, 18	bitri 184	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
20	3, 9, 19	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( E. y y e. B -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C ) )
21	20	eqrdv 2229	. . 3 |- ( E. y y e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
22	2, 21	sylbir 135	. 2 |- ( E. z z e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
23	22	eqcomd 2237	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   |^|_ciin 3971   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   X_cixp 6866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iin 3973  df-br 4089  df-opab 4151  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ixp 6867

This theorem is referenced by:  ixpintm  6893