Theorem ixpiinm 6813

Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpiinm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2266	. . . 4 |- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
2	1	cbvexv 1942	. . 3 |- ( E. y y e. B <-> E. z z e. B )
3		r19.28mv 3553	. . . . 5 |- ( E. y y e. B -> ( A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
4		eliin 3932	. . . . . . 7 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C ) )
5	4	elv 2776	. . . . . 6 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C )
6		vex 2775	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7	6	elixp 6794	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
8	7	ralbii 2512	. . . . . 6 |- ( A. y e. B f e. X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . . 5 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	6	elixp 6794	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) )
11		vex 2775	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
12	6, 11	fvex 5598	. . . . . . . . . 10 |- ( f ` x ) e. _V
13		eliin 3932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. _V -> ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C )
15	14	ralbii 2512	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C )
16		ralcom 2669	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
17	15, 16	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
18	17	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
19	10, 18	bitri 184	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
20	3, 9, 19	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( E. y y e. B -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C ) )
21	20	eqrdv 2203	. . 3 |- ( E. y y e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
22	2, 21	sylbir 135	. 2 |- ( E. z z e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
23	22	eqcomd 2211	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   |^|_ciin 3928   Fn wfn 5267   ` cfv 5272   X_cixp 6787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iin 3930  df-br 4046  df-opab 4107  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ixp 6788

This theorem is referenced by:  ixpintm  6814