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Theorem ixpiinm 6778
Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
ixpiinm  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y,
z, B
Allowed substitution hints:    A( z)    C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2254 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
21cbvexv 1930 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  B  <->  E. z  z  e.  B
)
3 r19.28mv 3539 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) ) )
4 eliin 3917 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C
) )
54elv 2764 . . . . . 6  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C )
6 vex 2763 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
76elixp 6759 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
87ralbii 2500 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
95, 8bitri 184 . . . . 5  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C ) )
106elixp 6759 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C ) )
11 vex 2763 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
126, 11fvex 5574 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
13 eliin 3917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
( f `  x
)  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  ( f `  x )  e.  C
) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
1514ralbii 2500 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
16 ralcom 2657 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
f `  x )  e.  C  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1715, 16bitri 184 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1817anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) )
1910, 18bitri 184 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  C ) )
203, 9, 193bitr4g 223 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
) )
2120eqrdv 2191 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  B  -> 
|^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
)
222, 21sylbir 135 . 2  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
|^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
)
2322eqcomd 2199 1  |-  ( E. z  z  e.  B  -> 
X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   |^|_ciin 3913    Fn wfn 5249   ` cfv 5254   X_cixp 6752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iin 3915  df-br 4030  df-opab 4091  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ixp 6753
This theorem is referenced by:  ixpintm  6779
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