Theorem ixpiinm 6690

Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpiinm	|- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, z, B

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)

Proof of Theorem ixpiinm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2227	. . . 4 |- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
2	1	cbvexv 1906	. . 3 |- ( E. y y e. B <-> E. z z e. B )
3		r19.28mv 3501	. . . . 5 |- ( E. y y e. B -> ( A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
4		eliin 3871	. . . . . . 7 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C ) )
5	4	elv 2730	. . . . . 6 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C )
6		vex 2729	. . . . . . . 8 |- f e. _V
7	6	elixp 6671	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
8	7	ralbii 2472	. . . . . 6 |- ( A. y e. B f e. X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
9	5, 8	bitri 183	. . . . 5 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	6	elixp 6671	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) )
11		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
12	6, 11	fvex 5506	. . . . . . . . . 10 |- ( f ` x ) e. _V
13		eliin 3871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. _V -> ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C )
15	14	ralbii 2472	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C )
16		ralcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
17	15, 16	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
18	17	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
19	10, 18	bitri 183	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
20	3, 9, 19	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( E. y y e. B -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C ) )
21	20	eqrdv 2163	. . 3 |- ( E. y y e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
22	2, 21	sylbir 134	. 2 |- ( E. z z e. B -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
23	22	eqcomd 2171	1 |- ( E. z z e. B -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   |^|_ciin 3867   Fn wfn 5183   ` cfv 5188   X_cixp 6664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iin 3869  df-br 3983  df-opab 4044  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-ixp 6665

This theorem is referenced by:  ixpintm  6691