Theorem mapprc 6711

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3476	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 5413	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 4932	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1612	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} → 𝐴 ∈ V)
8	7	con3i 633	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
9		notm0 3471	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
10	8, 9	sylib 122	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  {cab 2182  Vcvv 2763  ∅c0 3450  dom cdm 4663  ⟶wf 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fn 5261  df-f 5262

This theorem is referenced by: (None)