Theorem mapprc 6654

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3450	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 5373	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 2742	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 4895	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2269	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1598	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} → 𝐴 ∈ V)
8	7	con3i 632	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
9		notm0 3445	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
10	8, 9	sylib 122	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2739  ∅c0 3424  dom cdm 4628  ⟶wf 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fn 5221  df-f 5222

This theorem is referenced by: (None)