Theorem mapprc 6864

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3522	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 5495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 2806	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 5005	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2323	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1647	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} → 𝐴 ∈ V)
8	7	con3i 637	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
9		notm0 3517	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
10	8, 9	sylib 122	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {cab 2217  Vcvv 2803  ∅c0 3496  dom cdm 4731  ⟶wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by: (None)