Theorem mapprc 6630

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0m 3440	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 5353	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 2733	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 4877	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1591	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 120	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} → 𝐴 ∈ V)
8	7	con3i 627	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
9		notm0 3435	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
10	8, 9	sylib 121	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  {cab 2156  Vcvv 2730  ∅c0 3414  dom cdm 4611  ⟶wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fn 5201  df-f 5202

This theorem is referenced by: (None)