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Theorem nfabdw 2318
Description: Bound-variable hypothesis builder for a class abstraction. Version of nfabd 2319 with a disjoint variable condition. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.) (Revised by Gino Giotto, 10-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nfabdw.1  |-  F/ y
ph
nfabdw.2  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
Assertion
Ref Expression
nfabdw  |-  ( ph  -> 
F/_ x { y  |  ps } )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem nfabdw
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . 2  |-  F/ z
ph
2 df-clab 2144 . . 3  |-  ( z  e.  { y  |  ps }  <->  [ z  /  y ] ps )
3 nfabdw.1 . . . . 5  |-  F/ y
ph
4 nfabdw.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
53, 4alrimi 1502 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y F/ x ps )
6 nfa1 1521 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y F/ x ps
7 sb6 1866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z  /  y ] ps  <->  A. y ( y  =  z  ->  ps ) )
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y F/ x ps  ->  ( [ z  /  y ] ps  <->  A. y ( y  =  z  ->  ps ) ) )
97biimpri 132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  ps )  ->  [ z  /  y ] ps )
109axc4i 1522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  ps )  ->  A. y [ z  /  y ] ps )
118, 10syl6bi 162 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y F/ x ps  ->  ( [ z  /  y ] ps  ->  A. y [ z  /  y ] ps ) )
126, 11nf5d 2005 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y F/ x ps  ->  F/ y [ z  / 
y ] ps )
136, 12nfim1 1551 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( A. y F/ x ps  ->  [ z  /  y ] ps )
14 sbequ12 1751 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( ps 
<->  [ z  /  y ] ps ) )
1514imbi2d 229 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( A. y F/ x ps  ->  ps ) 
<->  ( A. y F/ x ps  ->  [ z  /  y ] ps ) ) )
1613, 15equsalv 1773 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  ( A. y F/ x ps  ->  ps ) )  <->  ( A. y F/ x ps  ->  [ z  /  y ] ps ) )
1716bicomi 131 . . . . . 6  |-  ( ( A. y F/ x ps  ->  [ z  / 
y ] ps )  <->  A. y ( y  =  z  ->  ( A. y F/ x ps  ->  ps ) ) )
18 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ x  y  =  z
19 nfnf1 1524 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x F/ x ps
2019nfal 1556 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. y F/ x ps
21 sp 1491 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y F/ x ps  ->  F/ x ps )
2220, 21nfim1 1551 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. y F/ x ps  ->  ps )
2318, 22nfim 1552 . . . . . . 7  |-  F/ x
( y  =  z  ->  ( A. y F/ x ps  ->  ps ) )
2423nfal 1556 . . . . . 6  |-  F/ x A. y ( y  =  z  ->  ( A. y F/ x ps  ->  ps ) )
2517, 24nfxfr 1454 . . . . 5  |-  F/ x
( A. y F/ x ps  ->  [ z  /  y ] ps )
26 pm5.5 241 . . . . . 6  |-  ( A. y F/ x ps  ->  ( ( A. y F/ x ps  ->  [ z  /  y ] ps ) 
<->  [ z  /  y ] ps ) )
2720, 26nfbidf 1519 . . . . 5  |-  ( A. y F/ x ps  ->  ( F/ x ( A. y F/ x ps  ->  [ z  /  y ] ps )  <->  F/ x [ z  /  y ] ps ) )
2825, 27mpbii 147 . . . 4  |-  ( A. y F/ x ps  ->  F/ x [ z  / 
y ] ps )
295, 28syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  F/ x [ z  /  y ] ps )
302, 29nfxfrd 1455 . 2  |-  ( ph  ->  F/ x  z  e. 
{ y  |  ps } )
311, 30nfcd 2294 1  |-  ( ph  -> 
F/_ x { y  |  ps } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1333   F/wnf 1440   [wsb 1742    e. wcel 2128   {cab 2143   F/_wnfc 2286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-11 1486  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-nfc 2288
This theorem is referenced by:  nfsbcdw  3065  nfcsbw  3067
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