Theorem nfabdw 2369

Description: Bound-variable hypothesis builder for a class abstraction. Version of nfabd 2370 with a disjoint variable condition. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.) (Revised by GG, 10-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfabdw.1	|- F/ y ph
nfabdw.2	|- ( ph -> F/ x ps )

Assertion

Ref	Expression
nfabdw	|- ( ph -> F/_ x { y | ps } )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem nfabdw

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1552	. 2 |- F/ z ph
2		df-clab 2194	. . 3 |- ( z e. { y | ps } <-> [ z / y ] ps )
3		nfabdw.1	. . . . 5 |- F/ y ph
4		nfabdw.2	. . . . 5 |- ( ph -> F/ x ps )
5	3, 4	alrimi 1546	. . . 4 |- ( ph -> A. y F/ x ps )
6		nfa1 1565	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y F/ x ps
7		sb6 1911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / y ] ps <-> A. y ( y = z -> ps ) )
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y F/ x ps -> ( [ z / y ] ps <-> A. y ( y = z -> ps ) ) )
9	7	biimpri 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y ( y = z -> ps ) -> [ z / y ] ps )
10	9	axc4i 1566	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y ( y = z -> ps ) -> A. y [ z / y ] ps )
11	8, 10	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y F/ x ps -> ( [ z / y ] ps -> A. y [ z / y ] ps ) )
12	6, 11	nf5d 2054	. . . . . . . . 9 |- ( A. y F/ x ps -> F/ y [ z / y ] ps )
13	6, 12	nfim1 1595	. . . . . . . 8 |- F/ y ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps )
14		sbequ12 1795	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ps <-> [ z / y ] ps ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( A. y F/ x ps -> ps ) <-> ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps ) ) )
16	13, 15	equsalv 1817	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = z -> ( A. y F/ x ps -> ps ) ) <-> ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps ) )
17	16	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps ) <-> A. y ( y = z -> ( A. y F/ x ps -> ps ) ) )
18		nfv 1552	. . . . . . . 8 |- F/ x y = z
19		nfnf1 1568	. . . . . . . . . 10 |- F/ x F/ x ps
20	19	nfal 1600	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y F/ x ps
21		sp 1535	. . . . . . . . 9 |- ( A. y F/ x ps -> F/ x ps )
22	20, 21	nfim1 1595	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. y F/ x ps -> ps )
23	18, 22	nfim 1596	. . . . . . 7 |- F/ x ( y = z -> ( A. y F/ x ps -> ps ) )
24	23	nfal 1600	. . . . . 6 |- F/ x A. y ( y = z -> ( A. y F/ x ps -> ps ) )
25	17, 24	nfxfr 1498	. . . . 5 |- F/ x ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps )
26		pm5.5 242	. . . . . 6 |- ( A. y F/ x ps -> ( ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps ) <-> [ z / y ] ps ) )
27	20, 26	nfbidf 1563	. . . . 5 |- ( A. y F/ x ps -> ( F/ x ( A. y F/ x ps -> [ z / y ] ps ) <-> F/ x [ z / y ] ps ) )
28	25, 27	mpbii 148	. . . 4 |- ( A. y F/ x ps -> F/ x [ z / y ] ps )
29	5, 28	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F/ x [ z / y ] ps )
30	2, 29	nfxfrd 1499	. 2 |- ( ph -> F/ x z e. { y | ps } )
31	1, 30	nfcd 2345	1 |- ( ph -> F/_ x { y | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   F/wnf 1484   [wsb 1786   e. wcel 2178   {cab 2193   F/_wnfc 2337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-nfc 2339

This theorem is referenced by:  nfsbcdw  3135  nfcsbw  3138