Theorem opeldm 4814

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	|- A e. _V
opeldm.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opeldm	|- ( <. A , B >. e. C -> A e. dom C )

Proof of Theorem opeldm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeldm.2	. . 3 |- B e. _V
2		opeq2 3766	. . . 4 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
3	2	eleq1d 2239	. . 3 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. C <-> <. A , B >. e. C ) )
4	1, 3	spcev 2825	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> E. y <. A , y >. e. C )
5		opeldm.1	. . 3 |- A e. _V
6	5	eldm2 4809	. 2 |- ( A e. dom C <-> E. y <. A , y >. e. C )
7	4, 6	sylibr 133	1 |- ( <. A , B >. e. C -> A e. dom C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  breldm  4815  elreldm  4837  relssres  4929  iss  4937  imadmrn  4963  dfco2a  5111  funssres  5240  funun  5242  iinerm  6585