Theorem opeldm 4737

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	|- A e. _V
opeldm.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opeldm	|- ( <. A , B >. e. C -> A e. dom C )

Proof of Theorem opeldm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeldm.2	. . 3 |- B e. _V
2		opeq2 3701	. . . 4 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
3	2	eleq1d 2206	. . 3 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. C <-> <. A , B >. e. C ) )
4	1, 3	spcev 2775	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> E. y <. A , y >. e. C )
5		opeldm.1	. . 3 |- A e. _V
6	5	eldm2 4732	. 2 |- ( A e. dom C <-> E. y <. A , y >. e. C )
7	4, 6	sylibr 133	1 |- ( <. A , B >. e. C -> A e. dom C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   dom cdm 4534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-dm 4544

This theorem is referenced by:  breldm  4738  elreldm  4760  relssres  4852  iss  4860  imadmrn  4886  dfco2a  5034  funssres  5160  funun  5162  iinerm  6494