Theorem iinerm 6754

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinerm	|- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem iinerm

Dummy variables u a v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2290	. . . 4 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
2	1	cbvexv 1965	. . 3 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
3		eleq1w 2290	. . . 4 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A ) )
4	3	cbvexv 1965	. . 3 |- ( E. a a e. A <-> E. y y e. A )
5	2, 4	bitri 184	. 2 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
6		r19.2m 3578	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> E. x e. A R Er B )
7		errel 6689	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> Rel R )
8		df-rel 4726	. . . . . . 7 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . 6 |- ( R Er B -> R C_ ( _V X. _V ) )
10	9	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. x e. A R Er B -> E. x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
11		iinss 4017	. . . . 5 |- ( E. x e. A R C_ ( _V X. _V ) -> |^|_ x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
12	6, 10, 11	3syl 17	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
13		df-rel 4726	. . . 4 |- ( Rel |^|_ x e. A R <-> |^|_ x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> Rel |^|_ x e. A R )
15		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( R Er B -> R Er B )
16	15	ersymb 6694	. . . . . . . . 9 |- ( R Er B -> ( u R v <-> v R u ) )
17	16	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( R Er B -> ( u R v -> v R u ) )
18		df-br 4084	. . . . . . . 8 |- ( u R v <-> <. u , v >. e. R )
19		df-br 4084	. . . . . . . 8 |- ( v R u <-> <. v , u >. e. R )
20	17, 18, 19	3imtr3g 204	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> ( <. u , v >. e. R -> <. v , u >. e. R ) )
21	20	ral2imi 2595	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> ( A. x e. A <. u , v >. e. R -> A. x e. A <. v , u >. e. R ) )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( A. x e. A <. u , v >. e. R -> A. x e. A <. v , u >. e. R ) )
23		df-br 4084	. . . . . 6 |- ( u |^|_ x e. A R v <-> <. u , v >. e. |^|_ x e. A R )
24		vex 2802	. . . . . . . 8 |- u e. _V
25		vex 2802	. . . . . . . 8 |- v e. _V
26	24, 25	opex 4315	. . . . . . 7 |- <. u , v >. e. _V
27		eliin 3970	. . . . . . 7 |- ( <. u , v >. e. _V -> ( <. u , v >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , v >. e. R ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. u , v >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , v >. e. R )
29	23, 28	bitri 184	. . . . 5 |- ( u |^|_ x e. A R v <-> A. x e. A <. u , v >. e. R )
30		df-br 4084	. . . . . 6 |- ( v |^|_ x e. A R u <-> <. v , u >. e. |^|_ x e. A R )
31	25, 24	opex 4315	. . . . . . 7 |- <. v , u >. e. _V
32		eliin 3970	. . . . . . 7 |- ( <. v , u >. e. _V -> ( <. v , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , u >. e. R ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. v , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , u >. e. R )
34	30, 33	bitri 184	. . . . 5 |- ( v |^|_ x e. A R u <-> A. x e. A <. v , u >. e. R )
35	22, 29, 34	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u |^|_ x e. A R v -> v |^|_ x e. A R u ) )
36	35	imp 124	. . 3 |- ( ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) /\ u |^|_ x e. A R v ) -> v |^|_ x e. A R u )
37		r19.26 2657	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) <-> ( A. x e. A <. u , v >. e. R /\ A. x e. A <. v , w >. e. R ) )
38	15	ertr 6695	. . . . . . . . 9 |- ( R Er B -> ( ( u R v /\ v R w ) -> u R w ) )
39		df-br 4084	. . . . . . . . . 10 |- ( v R w <-> <. v , w >. e. R )
40	18, 39	anbi12i 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( u R v /\ v R w ) <-> ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) )
41		df-br 4084	. . . . . . . . 9 |- ( u R w <-> <. u , w >. e. R )
42	38, 40, 41	3imtr3g 204	. . . . . . . 8 |- ( R Er B -> ( ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) -> <. u , w >. e. R ) )
43	42	ral2imi 2595	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A R Er B -> ( A. x e. A ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) -> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
44	43	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( A. x e. A ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) -> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
45	37, 44	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( A. x e. A <. u , v >. e. R /\ A. x e. A <. v , w >. e. R ) -> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
46		df-br 4084	. . . . . . 7 |- ( v |^|_ x e. A R w <-> <. v , w >. e. |^|_ x e. A R )
47		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
48	25, 47	opex 4315	. . . . . . . 8 |- <. v , w >. e. _V
49		eliin 3970	. . . . . . . 8 |- ( <. v , w >. e. _V -> ( <. v , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , w >. e. R ) )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( <. v , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , w >. e. R )
51	46, 50	bitri 184	. . . . . 6 |- ( v |^|_ x e. A R w <-> A. x e. A <. v , w >. e. R )
52	29, 51	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( u |^|_ x e. A R v /\ v |^|_ x e. A R w ) <-> ( A. x e. A <. u , v >. e. R /\ A. x e. A <. v , w >. e. R ) )
53		df-br 4084	. . . . . 6 |- ( u |^|_ x e. A R w <-> <. u , w >. e. |^|_ x e. A R )
54	24, 47	opex 4315	. . . . . . 7 |- <. u , w >. e. _V
55		eliin 3970	. . . . . . 7 |- ( <. u , w >. e. _V -> ( <. u , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. u , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , w >. e. R )
57	53, 56	bitri 184	. . . . 5 |- ( u |^|_ x e. A R w <-> A. x e. A <. u , w >. e. R )
58	45, 52, 57	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( u |^|_ x e. A R v /\ v |^|_ x e. A R w ) -> u |^|_ x e. A R w ) )
59	58	imp 124	. . 3 |- ( ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) /\ ( u |^|_ x e. A R v /\ v |^|_ x e. A R w ) ) -> u |^|_ x e. A R w )
60		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> R Er B )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> u e. B )
62	60, 61	erref 6700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> u R u )
63		df-br 4084	. . . . . . . . . 10 |- ( u R u <-> <. u , u >. e. R )
64	62, 63	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> <. u , u >. e. R )
65	64	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( u e. B -> ( R Er B -> <. u , u >. e. R ) )
66	65	ralimdv 2598	. . . . . . 7 |- ( u e. B -> ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
67	66	com12 30	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> ( u e. B -> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
68	67	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u e. B -> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
69		r19.26 2657	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) <-> ( A. x e. A R Er B /\ A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
70		r19.2m 3578	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) ) -> E. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) )
71	24, 24	opeldm 4926	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. u , u >. e. R -> u e. dom R )
72		erdm 6690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R Er B -> dom R = B )
73	72	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Er B -> ( u e. dom R <-> u e. B ) )
74	73	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Er B /\ u e. dom R ) -> u e. B )
75	71, 74	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) -> u e. B )
76	75	rexlimivw 2644	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) -> u e. B )
77	70, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) ) -> u e. B )
78	77	ex 115	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) -> u e. B ) )
79	69, 78	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A -> ( ( A. x e. A R Er B /\ A. x e. A <. u , u >. e. R ) -> u e. B ) )
80	79	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( A. x e. A <. u , u >. e. R -> u e. B ) )
81	68, 80	impbid 129	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u e. B <-> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
82		df-br 4084	. . . . 5 |- ( u |^|_ x e. A R u <-> <. u , u >. e. |^|_ x e. A R )
83	24, 24	opex 4315	. . . . . 6 |- <. u , u >. e. _V
84		eliin 3970	. . . . . 6 |- ( <. u , u >. e. _V -> ( <. u , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( <. u , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , u >. e. R )
86	82, 85	bitri 184	. . . 4 |- ( u |^|_ x e. A R u <-> A. x e. A <. u , u >. e. R )
87	81, 86	bitr4di 198	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u e. B <-> u |^|_ x e. A R u ) )
88	14, 36, 59, 87	iserd 6706	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )
89	5, 88	sylanbr 285	1 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   |^|_ciin 3966   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   Er wer 6677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-iin 3968  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-er 6680

This theorem is referenced by:  riinerm  6755