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Theorem iinerm 6344
Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinerm  |-  ( ( E. y  y  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    y, A
Allowed substitution hints:    B( y)    R( x, y)

Proof of Theorem iinerm
Dummy variables  u  a  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2150 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
21cbvexv 1843 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. a  a  e.  A
)
3 eleq1 2150 . . . 4  |-  ( a  =  y  ->  (
a  e.  A  <->  y  e.  A ) )
43cbvexv 1843 . . 3  |-  ( E. a  a  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
52, 4bitri 182 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
6 r19.2m 3365 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  E. x  e.  A  R  Er  B )
7 errel 6281 . . . . . . 7  |-  ( R  Er  B  ->  Rel  R )
8 df-rel 4435 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  <->  R  C_  ( _V 
X.  _V ) )
97, 8sylib 120 . . . . . 6  |-  ( R  Er  B  ->  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
109reximi 2470 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  R  Er  B  ->  E. x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
11 iinss 3776 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V )  ->  |^|_ x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
126, 10, 113syl 17 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
13 df-rel 4435 . . . 4  |-  ( Rel  |^|_ x  e.  A  R  <->  |^|_
x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
1412, 13sylibr 132 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  Rel  |^|_
x  e.  A  R
)
15 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  Er  B  ->  R  Er  B )
1615ersymb 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Er  B  ->  (
u R v  <->  v R u ) )
1716biimpd 142 . . . . . . . 8  |-  ( R  Er  B  ->  (
u R v  -> 
v R u ) )
18 df-br 3838 . . . . . . . 8  |-  ( u R v  <->  <. u ,  v >.  e.  R
)
19 df-br 3838 . . . . . . . 8  |-  ( v R u  <->  <. v ,  u >.  e.  R
)
2017, 18, 193imtr3g 202 . . . . . . 7  |-  ( R  Er  B  ->  ( <. u ,  v >.  e.  R  ->  <. v ,  u >.  e.  R
) )
2120ral2imi 2439 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  ->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R ) )
2221adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  ->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R
) )
23 df-br 3838 . . . . . 6  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R v  <->  <. u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
24 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
25 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
2624, 25opex 4047 . . . . . . 7  |-  <. u ,  v >.  e.  _V
27 eliin 3730 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  _V  ->  ( <. u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R
) )
2826, 27ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R )
2923, 28bitri 182 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R v  <->  A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R
)
30 df-br 3838 . . . . . 6  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R u  <->  <. v ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
3125, 24opex 4047 . . . . . . 7  |-  <. v ,  u >.  e.  _V
32 eliin 3730 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  e. 
_V  ->  ( <. v ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R
) )
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
v ,  u >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R )
3430, 33bitri 182 . . . . 5  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R u  <->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R )
3522, 29, 343imtr4g 203 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u |^|_ x  e.  A  R v  ->  v |^|_ x  e.  A  R u ) )
3635imp 122 . . 3  |-  ( ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  /\  u |^|_ x  e.  A  R
v )  ->  v |^|_ x  e.  A  R u )
37 r19.26 2497 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  <->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R ) )
3815ertr 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Er  B  ->  (
( u R v  /\  v R w )  ->  u R w ) )
39 df-br 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( v R w  <->  <. v ,  w >.  e.  R
)
4018, 39anbi12i 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u R v  /\  v R w )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R ) )
41 df-br 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( u R w  <->  <. u ,  w >.  e.  R
)
4238, 40, 413imtr3g 202 . . . . . . . 8  |-  ( R  Er  B  ->  (
( <. u ,  v
>.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4342ral2imi 2439 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4443adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v
>.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4537, 44syl5bir 151 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
( A. x  e.  A  <. u ,  v
>.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
46 df-br 3838 . . . . . . 7  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R w  <->  <. v ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
47 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
4825, 47opex 4047 . . . . . . . 8  |-  <. v ,  w >.  e.  _V
49 eliin 3730 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  w >.  e. 
_V  ->  ( <. v ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R
) )
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  w >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R )
5146, 50bitri 182 . . . . . 6  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R w  <->  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R )
5229, 51anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w )  <->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R ) )
53 df-br 3838 . . . . . 6  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R w  <->  <. u ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
5424, 47opex 4047 . . . . . . 7  |-  <. u ,  w >.  e.  _V
55 eliin 3730 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  w >.  e. 
_V  ->  ( <. u ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  w >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R )
5753, 56bitri 182 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R w  <->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R )
5845, 52, 573imtr4g 203 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
( u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w )  ->  u |^|_ x  e.  A  R w ) )
5958imp 122 . . 3  |-  ( ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  /\  (
u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w ) )  ->  u |^|_ x  e.  A  R w )
60 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  R  Er  B )
61 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
6260, 61erref 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  u R u )
63 df-br 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( u R u  <->  <. u ,  u >.  e.  R
)
6462, 63sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  -> 
<. u ,  u >.  e.  R )
6564expcom 114 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  B  ->  ( R  Er  B  ->  <.
u ,  u >.  e.  R ) )
6665ralimdv 2442 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
6766com12 30 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( u  e.  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
6867adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R ) )
69 r19.26 2497 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  <->  ( A. x  e.  A  R  Er  B  /\  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
70 r19.2m 3365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R
) )  ->  E. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R
) )
7124, 24opeldm 4627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
u ,  u >.  e.  R  ->  u  e.  dom  R )
72 erdm 6282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  Er  B  ->  dom  R  =  B )
7372eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Er  B  ->  (
u  e.  dom  R  <->  u  e.  B ) )
7473biimpa 290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  dom  R )  ->  u  e.  B
)
7571, 74sylan2 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
7675rexlimivw 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
7770, 76syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R
) )  ->  u  e.  B )
7877ex 113 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
)
7969, 78syl5bir 151 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( ( A. x  e.  A  R  Er  B  /\  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
)
8079expdimp 255 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R  ->  u  e.  B ) )
8168, 80impbid 127 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
82 df-br 3838 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R u  <->  <. u ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
8324, 24opex 4047 . . . . . 6  |-  <. u ,  u >.  e.  _V
84 eliin 3730 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  u >.  e. 
_V  ->  ( <. u ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
8583, 84ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( <.
u ,  u >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )
8682, 85bitri 182 . . . 4  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R u  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )
8781, 86syl6bbr 196 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  <->  u |^|_ x  e.  A  R u ) )
8814, 36, 59, 87iserd 6298 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
895, 88sylanbr 279 1  |-  ( ( E. y  y  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    C_ wss 2997   <.cop 3444   |^|_ciin 3726   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   dom cdm 4428   Rel wrel 4433    Er wer 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-iin 3728  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-er 6272
This theorem is referenced by:  riinerm  6345
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