Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iinerm Unicode version

Theorem iinerm 6501
 Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinerm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem iinerm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2200 . . . 4
21cbvexv 1890 . . 3
3 eleq1w 2200 . . . 4
43cbvexv 1890 . . 3
52, 4bitri 183 . 2
6 r19.2m 3449 . . . . 5
7 errel 6438 . . . . . . 7
8 df-rel 4546 . . . . . . 7
97, 8sylib 121 . . . . . 6
109reximi 2529 . . . . 5
11 iinss 3864 . . . . 5
126, 10, 113syl 17 . . . 4
13 df-rel 4546 . . . 4
1412, 13sylibr 133 . . 3
15 id 19 . . . . . . . . . 10
1615ersymb 6443 . . . . . . . . 9
1716biimpd 143 . . . . . . . 8
18 df-br 3930 . . . . . . . 8
19 df-br 3930 . . . . . . . 8
2017, 18, 193imtr3g 203 . . . . . . 7
2120ral2imi 2497 . . . . . 6
2221adantl 275 . . . . 5
23 df-br 3930 . . . . . 6
24 vex 2689 . . . . . . . 8
25 vex 2689 . . . . . . . 8
2624, 25opex 4151 . . . . . . 7
27 eliin 3818 . . . . . . 7
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6
2923, 28bitri 183 . . . . 5
30 df-br 3930 . . . . . 6
3125, 24opex 4151 . . . . . . 7
32 eliin 3818 . . . . . . 7
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6
3430, 33bitri 183 . . . . 5
3522, 29, 343imtr4g 204 . . . 4
3635imp 123 . . 3
37 r19.26 2558 . . . . . 6
3815ertr 6444 . . . . . . . . 9
39 df-br 3930 . . . . . . . . . 10
4018, 39anbi12i 455 . . . . . . . . 9
41 df-br 3930 . . . . . . . . 9
4238, 40, 413imtr3g 203 . . . . . . . 8
4342ral2imi 2497 . . . . . . 7
4443adantl 275 . . . . . 6
4537, 44syl5bir 152 . . . . 5
46 df-br 3930 . . . . . . 7
47 vex 2689 . . . . . . . . 9
4825, 47opex 4151 . . . . . . . 8
49 eliin 3818 . . . . . . . 8
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7
5146, 50bitri 183 . . . . . 6
5229, 51anbi12i 455 . . . . 5
53 df-br 3930 . . . . . 6
5424, 47opex 4151 . . . . . . 7
55 eliin 3818 . . . . . . 7
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6
5753, 56bitri 183 . . . . 5
5845, 52, 573imtr4g 204 . . . 4
5958imp 123 . . 3
60 simpl 108 . . . . . . . . . . 11
61 simpr 109 . . . . . . . . . . 11
6260, 61erref 6449 . . . . . . . . . 10
63 df-br 3930 . . . . . . . . . 10
6462, 63sylib 121 . . . . . . . . 9
6564expcom 115 . . . . . . . 8
6665ralimdv 2500 . . . . . . 7
6766com12 30 . . . . . 6
6867adantl 275 . . . . 5
69 r19.26 2558 . . . . . . 7
70 r19.2m 3449 . . . . . . . . 9
7124, 24opeldm 4742 . . . . . . . . . . 11
72 erdm 6439 . . . . . . . . . . . . 13
7372eleq2d 2209 . . . . . . . . . . . 12
7473biimpa 294 . . . . . . . . . . 11
7571, 74sylan2 284 . . . . . . . . . 10
7675rexlimivw 2545 . . . . . . . . 9
7770, 76syl 14 . . . . . . . 8
7877ex 114 . . . . . . 7
7969, 78syl5bir 152 . . . . . 6
8079expdimp 257 . . . . 5
8168, 80impbid 128 . . . 4
82 df-br 3930 . . . . 5
8324, 24opex 4151 . . . . . 6
84 eliin 3818 . . . . . 6
8583, 84ax-mp 5 . . . . 5
8682, 85bitri 183 . . . 4
8781, 86syl6bbr 197 . . 3
8814, 36, 59, 87iserd 6455 . 2
895, 88sylanbr 283 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104  wex 1468   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  cvv 2686   wss 3071  cop 3530  ciin 3814   class class class wbr 3929   cxp 4537   cdm 4539   wrel 4544   wer 6426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-iin 3816  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-er 6429 This theorem is referenced by:  riinerm  6502
 Copyright terms: Public domain W3C validator