ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funssres Unicode version

Theorem funssres 5230
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )

Proof of Theorem funssres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2729 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
21opelres 4889 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) )
3 ssel 3136 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
4 vex 2729 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
54, 1opeldm 4807 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
65a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G ) )
73, 6jcad 305 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
87adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
9 funeu2 5214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  ->  E! y <. x ,  y >.  e.  F )
104eldm2 4802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  G )
113ancrd 324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1211eximdv 1868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  F  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  G  ->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1310, 12syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
C_  F  ->  (
x  e.  dom  G  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1413imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )
15 eupick 2093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E! y <. x ,  y >.  e.  F  /\  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
169, 14, 15syl2an 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  /\  ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) )
1716exp43 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( G  C_  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1817com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( G  C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1918imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) ) ) )
2019com34 83 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) ) )
2120pm2.43d 50 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
2221impd 252 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
238, 22impbid 128 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
242, 23bitr4id 198 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  G ) )
2524alrimivv 1863 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
26 relres 4912 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  dom  G )
27 funrel 5205 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
28 relss 4691 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  ( Rel  F  ->  Rel  G ) )
2927, 28mpan9 279 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  Rel  G )
30 eqrel 4693 . . 3  |-  ( ( Rel  ( F  |`  dom  G )  /\  Rel  G )  ->  ( ( F  |`  dom  G )  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3126, 29, 30sylancr 411 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( F  |`  dom  G
)  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3225, 31mpbird 166 1  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1341    = wceq 1343   E.wex 1480   E!weu 2014    e. wcel 2136    C_ wss 3116   <.cop 3579   dom cdm 4604    |` cres 4606   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-fun 5190
This theorem is referenced by:  fun2ssres  5231  funcnvres  5261  funssfv  5512  oprssov  5983
  Copyright terms: Public domain W3C validator