Theorem funssres 5376

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Proof of Theorem funssres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. . . . 5 |- y e. _V
2	1	opelres 5024	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) )
3		ssel 3222	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> <. x , y >. e. F ) )
4		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	4, 1	opeldm 4940	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G ) )
7	3, 6	jcad 307	. . . . . 6 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
9		funeu2 5359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) -> E! y <. x , y >. e. F )
10	4	eldm2 4935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom G <-> E. y <. x , y >. e. G )
11	3	ancrd 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
12	11	eximdv 1928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G C_ F -> ( E. y <. x , y >. e. G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
13	10, 12	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G C_ F -> ( x e. dom G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G C_ F /\ x e. dom G ) -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) )
15		eupick 2159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E! y <. x , y >. e. F /\ E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
16	9, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) /\ ( G C_ F /\ x e. dom G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
17	16	exp43 372	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. e. F -> ( G C_ F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
18	17	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
20	19	com34 83	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
21	20	pm2.43d 50	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) )
22	21	impd 254	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) -> <. x , y >. e. G ) )
23	8, 22	impbid 129	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
24	2, 23	bitr4id 199	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
25	24	alrimivv 1923	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
26		relres 5047	. . 3 |- Rel ( F |` dom G )
27		funrel 5350	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
28		relss 4819	. . . 4 |- ( G C_ F -> ( Rel F -> Rel G ) )
29	27, 28	mpan9 281	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> Rel G )
30		eqrel 4821	. . 3 |- ( ( Rel ( F |` dom G ) /\ Rel G ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
31	26, 29, 30	sylancr 414	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
32	25, 31	mpbird 167	1 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   E!weu 2079   e. wcel 2202   C_ wss 3201   <.cop 3676   dom cdm 4731   |` cres 4733   Rel wrel 4736   Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  fun2ssres  5377  funcnvres  5410  f1ssf1  5624  funssfv  5674  oprssov  6174  issubgr2  16199  uhgrissubgr  16202