Theorem funssres 5420

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Proof of Theorem funssres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 |- y e. _V
2	1	opelres 5068	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) )
3		ssel 3242	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> <. x , y >. e. F ) )
4		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	4, 1	opeldm 4984	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G ) )
7	3, 6	jcad 307	. . . . . 6 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
9		funeu2 5403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) -> E! y <. x , y >. e. F )
10	4	eldm2 4979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom G <-> E. y <. x , y >. e. G )
11	3	ancrd 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
12	11	eximdv 1933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G C_ F -> ( E. y <. x , y >. e. G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
13	10, 12	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G C_ F -> ( x e. dom G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G C_ F /\ x e. dom G ) -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) )
15		eupick 2166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E! y <. x , y >. e. F /\ E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
16	9, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) /\ ( G C_ F /\ x e. dom G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
17	16	exp43 372	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. e. F -> ( G C_ F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
18	17	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
20	19	com34 83	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
21	20	pm2.43d 50	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) )
22	21	impd 254	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) -> <. x , y >. e. G ) )
23	8, 22	impbid 129	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
24	2, 23	bitr4id 199	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
25	24	alrimivv 1928	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
26		relres 5091	. . 3 |- Rel ( F |` dom G )
27		funrel 5394	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
28		relss 4862	. . . 4 |- ( G C_ F -> ( Rel F -> Rel G ) )
29	27, 28	mpan9 281	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> Rel G )
30		eqrel 4864	. . 3 |- ( ( Rel ( F |` dom G ) /\ Rel G ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
31	26, 29, 30	sylancr 418	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
32	25, 31	mpbird 167	1 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   E!weu 2086   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3712   dom cdm 4774   |` cres 4776   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-res 4786  df-fun 5379

This theorem is used by:  fun2ssres  5421  funcnvres  5454  f1ssf1  5671  funssfv  5721  oprssov  6231  issubgr2  16499  uhgrissubgr  16502