Theorem opnneip 14706

Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneip	|- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ P e. N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )

Proof of Theorem opnneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3783	. 2 |- ( P e. N -> { P } C_ N )
2		opnneiss 14705	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ { P } C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
3	1, 2	syl3an3 1285	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ P e. N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2177   C_ wss 3170   {csn 3638   ` cfv 5280   Topctop 14544   neicnei 14685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-top 14545  df-nei 14686

This theorem is referenced by:  iscnp4  14765  cnpnei  14766  blnei  15039