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Theorem iscnp4 12858
Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K at point P " in terms of neighborhoods. (Contributed by FL, 18-Jul-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, P, y   x, X, y   x, Y, y
Proof of Theorem iscnp4
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 12847 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
213expa 1193 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
323adantl3 1145 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
4 simpll1 1026 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5 simpll2 1027 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
6 simpll3 1028 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> P e. X )
7 simplr 520 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
8 topontop 12652 . . . . . . . . 9 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
95, 8syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> K e. Top )
10 eqid 2165 . . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
1110neii1 12787 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y C_ U. K )
129, 11sylancom 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y C_ U. K )
1310ntropn 12757 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K ) -> ( ( int ` K ) ` y ) e. K )
149, 12, 13syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) e. K )
15 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
163adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> F : X --> Y )
1716, 6ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
18 toponuni 12653 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
195, 18syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> Y = U. K )
2017, 19eleqtrd 2245 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
2120snssd 3718 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> { ( F ` P ) } C_ U. K )
2210neiint 12785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ { ( F ` P ) } C_ U. K /\ y C_ U. K ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
239, 21, 12, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
2415, 23mpbid 146 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
25 fvexg 5505 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ P e. X ) -> ( F ` P ) e. _V )
267, 6, 25syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. _V )
27 snssg 3709 . . . . . . . . 9 |- ( ( F ` P ) e. _V -> ( ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
2826, 27syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
2924, 28mpbird 166 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) )
30 icnpimaex 12851 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ ( ( int ` K ) ` y ) e. K /\ ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
314, 5, 6, 7, 14, 29, 30syl33anc 1243 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
32 simpl1 990 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3332ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
34 topontop 12652 . . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3533, 34syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> J e. Top )
36 simprl 521 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> x e. J )
37 simprrl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> P e. x )
38 opnneip 12799 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
40 simprrr 530 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
4110ntrss2 12761 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
429, 12, 41syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
4342adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
4440, 43sstrd 3152 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( F " x ) C_ y )
4531, 39, 44reximssdv 2570 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y )
4645ralrimiva 2539 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y )
473, 46jca 304 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) )
4847ex 114 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
49 simpll2 1027 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5049, 8syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> K e. Top )
51 simprl 521 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> y e. K )
52 simprr 522 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( F ` P ) e. y )
53 opnneip 12799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
55 simpl1 990 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5655ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5756, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> J e. Top )
58 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
59 eqid 2165 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
6059neii1 12787 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> x C_ U. J )
6157, 58, 60syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> x C_ U. J )
6259ntropn 12757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` x ) e. J )
6357, 61, 62syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( int ` J ) ` x ) e. J )
64 simpll3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> P e. X )
6564adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. X )
66 toponuni 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6756, 66syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> X = U. J )
6865, 67eleqtrd 2245 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. U. J )
6968snssd 3718 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> { P } C_ U. J )
7059neiint 12785 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ U. J /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7157, 69, 61, 70syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7258, 71mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) )
73 snssg 3709 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. X -> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7465, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7572, 74mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. ( ( int ` J ) ` x ) )
7659ntrss2 12761 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` x ) C_ x )
7757, 61, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( int ` J ) ` x ) C_ x )
78 imass2 4980 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` J ) ` x ) C_ x -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ ( F " x ) )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ ( F " x ) )
80 simprr 522 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " x ) C_ y )
8179, 80sstrd 3152 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y )
82 eleq2 2230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( P e. z <-> P e. ( ( int ` J ) ` x ) ) )
83 imaeq2 4942 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( F " z ) = ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) )
8483sseq1d 3171 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) )
8582, 84anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) /\ ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) ) )
8685rspcev 2830 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( int ` J ) ` x ) e. J /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) /\ ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
8763, 75, 81, 86syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
8887rexlimdvaa 2584 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
8954, 88embantd 56 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
9089ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9190com23 78 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9291exp4a 364 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( y e. K -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
9392ralimdv2 2536 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y -> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9493imdistanda 445 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
95 iscnp 12839 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
9694, 95sylibrd 168 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
9748, 96impbid 128 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   {csn 3576   U.cuni 3789   "cima 4607   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   intcnt 12733   neicnei 12778   CnP ccnp 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12636  df-topon 12649  df-ntr 12736  df-nei 12779  df-cnp 12829
This theorem is referenced by:  cnnei  12872
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