ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iscnp4 Unicode version

Theorem iscnp4 12413
Description: The predicate "the class  F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P " in terms of neighborhoods. (Contributed by FL, 18-Jul-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, J, y    x, K, y    x, P, y   
x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 12402 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1139 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
4 simpll1 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5 simpll2 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
6 simpll3 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  P  e.  X )
7 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
8 topontop 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
95, 8syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  K  e.  Top )
10 eqid 2139 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
1110neii1 12342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  y  C_  U. K )
129, 11sylancom 416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
y  C_  U. K )
1310ntropn 12312 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( ( int `  K ) `  y
)  e.  K )
149, 12, 13syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( ( int `  K
) `  y )  e.  K )
15 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) )
163adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  F : X --> Y )
1716, 6ffvelrnd 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
18 toponuni 12208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
195, 18syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  Y  =  U. K )
2017, 19eleqtrd 2218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  U. K
)
2120snssd 3668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  { ( F `  P ) }  C_  U. K )
2210neiint 12340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  { ( F `  P
) }  C_  U. K  /\  y  C_  U. K
)  ->  ( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  <->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K ) `  y
) ) )
239, 21, 12, 22syl3anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  <->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K ) `  y
) ) )
2415, 23mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K
) `  y )
)
25 fvexg 5443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  _V )
267, 6, 25syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  _V )
27 snssg 3659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  P )  e.  _V  ->  (
( F `  P
)  e.  ( ( int `  K ) `
 y )  <->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K ) `  y
) ) )
2826, 27syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( int `  K
) `  y )  <->  { ( F `  P
) }  C_  (
( int `  K
) `  y )
) )
2924, 28mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  ( ( int `  K ) `
 y ) )
30 icnpimaex 12406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  ( ( int `  K ) `  y
)  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  ( ( int `  K ) `  y
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) )
314, 5, 6, 7, 14, 29, 30syl33anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) )
32 simpl1 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3332ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
34 topontop 12207 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3533, 34syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
36 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  x  e.  J )
37 simprrl 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  P  e.  x )
38 opnneip 12354 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )
40 simprrr 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( F " x )  C_  (
( int `  K
) `  y )
)
4110ntrss2 12316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( ( int `  K ) `  y
)  C_  y )
429, 12, 41syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( ( int `  K
) `  y )  C_  y )
4342adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  y )  C_  y
)
4440, 43sstrd 3107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( F " x )  C_  y
)
4531, 39, 44reximssdv 2536 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )
4645ralrimiva 2505 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )
473, 46jca 304 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) )
4847ex 114 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) ) )
49 simpll2 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5049, 8syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  K  e.  Top )
51 simprl 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  y  e.  K )
52 simprr 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  ( F `  P )  e.  y )
53 opnneip 12354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  -> 
y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )
55 simpl1 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5655ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5756, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  J  e.  Top )
58 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )
59 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
6059neii1 12342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )  ->  x  C_  U. J
)
6157, 58, 60syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  x  C_  U. J )
6259ntropn 12312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  x
)  e.  J )
6357, 61, 62syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( ( int `  J
) `  x )  e.  J )
64 simpll3 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  P  e.  X )
6564adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  P  e.  X )
66 toponuni 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
6756, 66syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  X  =  U. J )
6865, 67eleqtrd 2218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  P  e.  U. J )
6968snssd 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  { P }  C_  U. J
)
7059neiint 12340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  U. J  /\  x  C_  U. J
)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  x
) ) )
7157, 69, 61, 70syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  x
) ) )
7258, 71mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  x )
)
73 snssg 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  x )  <->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  x
) ) )
7465, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( P  e.  ( ( int `  J
) `  x )  <->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  x )
) )
7572, 74mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  P  e.  ( ( int `  J ) `  x ) )
7659ntrss2 12316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  x
)  C_  x )
7757, 61, 76syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( ( int `  J
) `  x )  C_  x )
78 imass2 4918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  J
) `  x )  C_  x  ->  ( F " ( ( int `  J
) `  x )
)  C_  ( F " x ) )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  ( F " x ) )
80 simprr 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( F " x
)  C_  y )
8179, 80sstrd 3107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  y )
82 eleq2 2203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
( int `  J
) `  x )
) )
83 imaeq2 4880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( ( int `  J ) `
 x ) ) )
8483sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  y )
)
8582, 84anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  x )  /\  ( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  y )
) )
8685rspcev 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  x )  e.  J  /\  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  x )  /\  ( F " ( ( int `  J ) `  x
) )  C_  y
) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) )
8763, 75, 81, 86syl12anc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
8887rexlimdvaa 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  ( E. x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ( F " x ) 
C_  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
8954, 88embantd 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  ( (
y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } )  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
9089ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y )  ->  ( ( y  e.  ( ( nei `  K ) `  {
( F `  P
) } )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) ) )
9190com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  (
( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) )
9291exp4a 363 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  (
y  e.  K  -> 
( ( F `  P )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) ) )
9392ralimdv2 2502 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y  ->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) )
9493imdistanda 444 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) ) )
95 iscnp 12394 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) ) ) )
9694, 95sylibrd 168 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )
9748, 96impbid 128 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   {csn 3527   U.cuni 3739   "cima 4545   -->wf 5122   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   Topctop 12190  TopOnctopon 12203   intcnt 12288   neicnei 12333    CnP ccnp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-map 6547  df-top 12191  df-topon 12204  df-ntr 12291  df-nei 12334  df-cnp 12384
This theorem is referenced by:  cnnei  12427
  Copyright terms: Public domain W3C validator