Theorem tpnei 12602

Description: The underlying set of a topology is a neighborhood of any of its subsets. Special case of opnneiss 12600. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
tpnei	|- ( J e. Top -> ( S C_ X <-> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )

Proof of Theorem tpnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 12448	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		opnneiss 12600	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X e. J /\ S C_ X ) -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4	3	3exp 1184	. . 3 |- ( J e. Top -> ( X e. J -> ( S C_ X -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) ) )
5	2, 4	mpd 13	. 2 |- ( J e. Top -> ( S C_ X -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
6		ssnei 12593	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
7	6	ex 114	. 2 |- ( J e. Top -> ( X e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> S C_ X ) )
8	5, 7	impbid 128	1 |- ( J e. Top -> ( S C_ X <-> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   U.cuni 3773   ` cfv 5171   Topctop 12437   neicnei 12580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-top 12438  df-nei 12581

This theorem is referenced by:  neiuni  12603