Theorem tpnei 13531

Description: The underlying set of a topology is a neighborhood of any of its subsets. Special case of opnneiss 13529. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
tpnei	|- ( J e. Top -> ( S C_ X <-> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )

Proof of Theorem tpnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 13377	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		opnneiss 13529	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X e. J /\ S C_ X ) -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4	3	3exp 1202	. . 3 |- ( J e. Top -> ( X e. J -> ( S C_ X -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) ) )
5	2, 4	mpd 13	. 2 |- ( J e. Top -> ( S C_ X -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
6		ssnei 13522	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
7	6	ex 115	. 2 |- ( J e. Top -> ( X e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> S C_ X ) )
8	5, 7	impbid 129	1 |- ( J e. Top -> ( S C_ X <-> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   U.cuni 3809   ` cfv 5215   Topctop 13366   neicnei 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-top 13367  df-nei 13510

This theorem is referenced by:  neiuni  13532