Theorem cnpnei 12169

Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnpnei.1	|- X = U. J
cnpnei.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnpnei	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Proof of Theorem cnpnei

Dummy variables g o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 4838	. . . . . . . 8 |- ( `' F " y ) C_ dom F
2		fdm 5214	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
3	1, 2	syl5sseq 3097	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " y ) C_ X )
4	3	3ad2ant3 972	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
5	4	ad2antrr 475	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) C_ X )
6		neii2 12100	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
7	6	3ad2antl2 1112	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
8	7	ad2ant2rl 498	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
9		cnpnei.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = U. J
10	9	toptopon 11967	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
12	11	3ad2ant1 970	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	ad3antrrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		cnpnei.2	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. K
15	14	toptopon 11967	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	3ad2ant2 971	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18	17	ad3antrrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
19		simpllr 504	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> A e. X )
20		simplrl 505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
21		simprl 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> g e. K )
22		simprrl 509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> { ( F ` A ) } C_ g )
23		fvexg 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. _V )
24	20, 19, 23	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F ` A ) e. _V )
25		snssg 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` A ) e. _V -> ( ( F ` A ) e. g <-> { ( F ` A ) } C_ g ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. g <-> { ( F ` A ) } C_ g ) )
27	22, 26	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F ` A ) e. g )
28		icnpimaex 12161	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
29	13, 18, 19, 20, 21, 27, 28	syl33anc 1199	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
30		sstr2 3054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " o ) C_ g -> ( g C_ y -> ( F " o ) C_ y ) )
31	30	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g C_ y -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
32	31	ad2antll 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
33	32	ad2antlr 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
34		ffun 5211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
35	34	3ad2ant3 972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> Fun F )
36	35	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> Fun F )
37	36	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> Fun F )
38	9	eltopss 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
39	38	adantlr 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ X )
40	2	sseq2d 3077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X --> Y -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
41	40	ad2antlr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
42	39, 41	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
43	42	3adantl2 1106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
44	43	adantlr 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
45	44	adantlr 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
46	45	adantlr 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
47		funimass3 5468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ o C_ dom F ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
48	37, 46, 47	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
49	33, 48	sylibd 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> o C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	anim2d 333	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
51	50	reximdva 2493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
52	29, 51	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
53	8, 52	rexlimddv 2513	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
54	9	isneip 12097	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
55	54	3ad2antl1 1111	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
56	55	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
57	5, 53, 56	mpbir2and 896	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
58	57	exp32 360	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2470	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
60		simpll3 990	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F : X --> Y )
61		opnneip 12110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) )
62		imaeq2 4813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = o -> ( `' F " y ) = ( `' F " o ) )
63	62	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = o -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
64	63	rspcv 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
65	61, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
66	65	3com23 1155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
67	66	3expb 1150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
68	67	3ad2antl2 1112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
69	68	adantlr 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
70		neii2 12100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) )
71	70	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
72	71	3ad2ant1 970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
73	72	ad2antrr 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
74		snssg 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. X -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
75	74	ad3antlr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
76	35	ad3antrrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> Fun F )
77	9	eltopss 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ g e. J ) -> g C_ X )
78	77	3ad2antl1 1111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ X )
79	2	sseq2d 3077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X --> Y -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
80	79	3ad2ant3 972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
81	80	biimpar 293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g C_ X ) -> g C_ dom F )
82	78, 81	syldan 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
83	82	adantlr 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
84	83	adantlr 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
85		funimass3 5468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ g C_ dom F ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
86	76, 84, 85	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
87	75, 86	anbi12d 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) <-> ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
88	87	biimprd 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
89	88	reximdva 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
90	69, 73, 89	3syld 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
91	90	exp32 360	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) e. o -> ( o e. K -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
92	91	com24 87	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
93	92	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) )
94	93	ralrimiv 2463	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
95	11	3ad2ant1 970	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
96	16	3ad2ant2 971	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
97		simp3 951	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> A e. X )
98		iscnp 12149	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
99	95, 96, 97, 98	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
100	99	3expa 1149	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
101	100	3adantl3 1107	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
102	101	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
103	60, 94, 102	mpbir2and 896	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
104	103	ex 114	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
105	59, 104	impbid 128	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   {csn 3474   U.cuni 3683   `'ccnv 4476   dom cdm 4477   "cima 4480   Fun wfun 5053   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   Topctop 11946  TopOnctopon 11959   neicnei 12089   CnP ccnp 12137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-top 11947  df-topon 11960  df-nei 12090  df-cnp 12140

This theorem is referenced by: (None)