Theorem cnpnei 15030

Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnpnei.1	|- X = U. J
cnpnei.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnpnei	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Proof of Theorem cnpnei

Dummy variables g o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 5106	. . . . . . . 8 |- ( `' F " y ) C_ dom F
2		fdm 5495	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
3	1, 2	sseqtrid 3278	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " y ) C_ X )
4	3	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) C_ X )
6		neii2 14960	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
7	6	3ad2antl2 1187	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
8	7	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
9		cnpnei.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = U. J
10	9	toptopon 14829	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
12	11	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		cnpnei.2	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. K
15	14	toptopon 14829	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
19		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> A e. X )
20		simplrl 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
21		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> g e. K )
22		simprrl 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> { ( F ` A ) } C_ g )
23		fvexg 5667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. _V )
24	20, 19, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F ` A ) e. _V )
25		snssg 3812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` A ) e. _V -> ( ( F ` A ) e. g <-> { ( F ` A ) } C_ g ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. g <-> { ( F ` A ) } C_ g ) )
27	22, 26	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F ` A ) e. g )
28		icnpimaex 15022	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
29	13, 18, 19, 20, 21, 27, 28	syl33anc 1289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
30		sstr2 3235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " o ) C_ g -> ( g C_ y -> ( F " o ) C_ y ) )
31	30	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g C_ y -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
32	31	ad2antll 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
33	32	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
34		ffun 5492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
35	34	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> Fun F )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> Fun F )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> Fun F )
38	9	eltopss 14820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
39	38	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ X )
40	2	sseq2d 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X --> Y -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
42	39, 41	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
43	42	3adantl2 1181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
44	43	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
45	44	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
46	45	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
47		funimass3 5772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ o C_ dom F ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
48	37, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
49	33, 48	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> o C_ ( `' F " y ) ) )
50	49	anim2d 337	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
51	50	reximdva 2635	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
52	29, 51	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
53	8, 52	rexlimddv 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
54	9	isneip 14957	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
55	54	3ad2antl1 1186	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
57	5, 53, 56	mpbir2and 953	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
58	57	exp32 365	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2612	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
60		simpll3 1065	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F : X --> Y )
61		opnneip 14970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) )
62		imaeq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = o -> ( `' F " y ) = ( `' F " o ) )
63	62	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = o -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
64	63	rspcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
65	61, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
66	65	3com23 1236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
67	66	3expb 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
68	67	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
69	68	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
70		neii2 14960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) )
71	70	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
72	71	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
74		snssg 3812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. X -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
75	74	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
76	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> Fun F )
77	9	eltopss 14820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ g e. J ) -> g C_ X )
78	77	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ X )
79	2	sseq2d 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X --> Y -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
80	79	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
81	80	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g C_ X ) -> g C_ dom F )
82	78, 81	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
83	82	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
84	83	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
85		funimass3 5772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ g C_ dom F ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
86	76, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
87	75, 86	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) <-> ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
88	87	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
89	88	reximdva 2635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
90	69, 73, 89	3syld 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
91	90	exp32 365	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) e. o -> ( o e. K -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
92	91	com24 87	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
93	92	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) )
94	93	ralrimiv 2605	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
95	11	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
96	16	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
97		simp3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> A e. X )
98		iscnp 15010	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
99	95, 96, 97, 98	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
100	99	3expa 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
101	100	3adantl3 1182	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
102	101	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
103	60, 94, 102	mpbir2and 953	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
104	103	ex 115	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
105	59, 104	impbid 129	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   {csn 3673   U.cuni 3898   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   "cima 4734   Fun wfun 5327   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Topctop 14808  TopOnctopon 14821   neicnei 14949   CnP ccnp 14997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-top 14809  df-topon 14822  df-nei 14950  df-cnp 15000

This theorem is referenced by: (None)