ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opnneiss Unicode version

Theorem opnneiss 12654
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )

Proof of Theorem opnneiss
StepHypRef Expression
1 simp3 984 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  N )
2 eqid 2157 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32eltopss 12503 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J )  ->  N  C_  U. J )
4 sstr 3136 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  N  /\  N  C_  U. J )  ->  S  C_  U. J
)
54ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( N  C_  U. J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
63, 5stoic3 1411 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
72opnneissb 12651 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) ) )
86, 7syld3an3 1265 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  -> 
( S  C_  N  <->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S
) ) )
91, 8mpbid 146 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128    C_ wss 3102   U.cuni 3774   ` cfv 5173   Topctop 12491   neicnei 12634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-top 12492  df-nei 12635
This theorem is referenced by:  opnneip  12655  tpnei  12656  topssnei  12658  opnneiid  12660  neissex  12661
  Copyright terms: Public domain W3C validator