Theorem opnneiss 12327

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	|- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 983	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> S C_ N )
2		eqid 2139	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	eltopss 12176	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J ) -> N C_ U. J )
4		sstr 3105	. . . . 5 |- ( ( S C_ N /\ N C_ U. J ) -> S C_ U. J )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( N C_ U. J /\ S C_ N ) -> S C_ U. J )
6	3, 5	stoic3 1407	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> S C_ U. J )
7	2	opnneissb 12324	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ U. J ) -> ( S C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
8	6, 7	syld3an3 1261	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> ( S C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
9	1, 8	mpbid 146	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   C_ wss 3071   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164   neicnei 12307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-nei 12308

This theorem is referenced by:  opnneip  12328  tpnei  12329  topssnei  12331  opnneiid  12333  neissex  12334