Theorem opnneiss 12654

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	|- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 984	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> S C_ N )
2		eqid 2157	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	eltopss 12503	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J ) -> N C_ U. J )
4		sstr 3136	. . . . 5 |- ( ( S C_ N /\ N C_ U. J ) -> S C_ U. J )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( N C_ U. J /\ S C_ N ) -> S C_ U. J )
6	3, 5	stoic3 1411	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> S C_ U. J )
7	2	opnneissb 12651	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ U. J ) -> ( S C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
8	6, 7	syld3an3 1265	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> ( S C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
9	1, 8	mpbid 146	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   C_ wss 3102   U.cuni 3774   ` cfv 5173   Topctop 12491   neicnei 12634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-top 12492  df-nei 12635

This theorem is referenced by:  opnneip  12655  tpnei  12656  topssnei  12658  opnneiid  12660  neissex  12661