Theorem opnneiss 15182

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	|- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> S C_ N )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	eltopss 15033	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J ) -> N C_ U. J )
4		sstr 3256	. . . . 5 |- ( ( S C_ N /\ N C_ U. J ) -> S C_ U. J )
5	4	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( N C_ U. J /\ S C_ N ) -> S C_ U. J )
6	3, 5	stoic3 1480	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> S C_ U. J )
7	2	opnneissb 15179	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ U. J ) -> ( S C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
8	6, 7	syld3an3 1323	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> ( S C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   C_ wss 3220   U.cuni 3930   ` cfv 5372   Topctop 15021   neicnei 15162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-top 15022  df-nei 15163

This theorem is referenced by:  opnneip  15183  tpnei  15184  topssnei  15186  opnneiid  15188  neissex  15189