Theorem ax1rid 7989

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8031. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	|- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7934	. 2 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2		oveq1 5950	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( A x. 1 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2219	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( A x. 1 ) = A ) )
5		elsni 3650	. . 3 |- ( y e. { 0R } -> y = 0R )
6		df-1 7932	. . . . . . 7 |- 1 = <. 1R , 0R >.
7	6	oveq2i 5954	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. )
8		1sr 7863	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
9		mulresr 7950	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
11		1idsr 7880	. . . . . . . 8 |- ( x e. R. -> ( x .R 1R ) = x )
12	11	opeq1d 3824	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> <. ( x .R 1R ) , 0R >. = <. x , 0R >. )
13	10, 12	eqtrd 2237	. . . . . 6 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. x , 0R >. )
14	7, 13	eqtrid 2249	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. )
15		opeq2 3819	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
16	15	oveq1d 5958	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. 1 ) )
17	16, 15	eqeq12d 2219	. . . . 5 |- ( y = 0R -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. ) )
18	14, 17	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( y = 0R -> ( x e. R. -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. ) )
19	18	impcom 125	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y = 0R ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
20	5, 19	sylan2 286	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. { 0R } ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
21	1, 4, 20	optocl 4750	1 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   {csn 3632   <.cop 3635  (class class class)co 5943   R.cnr 7409   0Rc0r 7410   1Rc1r 7411   .R cmr 7414   RRcr 7923   1c1 7925   x. cmul 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-lti 7419  df-plpq 7456  df-mpq 7457  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461  df-mqqs 7462  df-1nqqs 7463  df-rq 7464  df-ltnqqs 7465  df-enq0 7536  df-nq0 7537  df-0nq0 7538  df-plq0 7539  df-mq0 7540  df-inp 7578  df-i1p 7579  df-iplp 7580  df-imp 7581  df-enr 7838  df-nr 7839  df-plr 7840  df-mr 7841  df-0r 7843  df-1r 7844  df-m1r 7845  df-c 7930  df-1 7932  df-r 7934  df-mul 7936

This theorem is referenced by:  rereceu  8001  recriota  8002