ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid Unicode version

Theorem ax1rid 7692
Description:  1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 7734. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7637 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
2 oveq1 5781 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( <.
x ,  y >.  x.  1 )  =  ( A  x.  1 ) )
3 id 19 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  A )
42, 3eqeq12d 2154 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >.  <->  ( A  x.  1 )  =  A ) )
5 elsni 3545 . . 3  |-  ( y  e.  { 0R }  ->  y  =  0R )
6 df-1 7635 . . . . . . 7  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
76oveq2i 5785 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )
8 1sr 7566 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
9 mulresr 7653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  x.  <. 1R ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >. )
108, 9mpan2 421 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( x  .R  1R ) ,  0R >. )
11 1idsr 7583 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  R.  ->  (
x  .R  1R )  =  x )
1211opeq1d 3711 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >.  =  <. x ,  0R >. )
1310, 12eqtrd 2172 . . . . . 6  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. x ,  0R >. )
147, 13syl5eq 2184 . . . . 5  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
15 opeq2 3706 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
1615oveq1d 5789 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x.  1 ) )
1716, 15eqeq12d 2154 . . . . 5  |-  ( y  =  0R  ->  (
( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
)
1814, 17syl5ibr 155 . . . 4  |-  ( y  =  0R  ->  (
x  e.  R.  ->  (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
)
1918impcom 124 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  =  0R )  ->  ( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.
)
205, 19sylan2 284 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  { 0R } )  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
211, 4, 20optocl 4615 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   {csn 3527   <.cop 3530  (class class class)co 5774   R.cnr 7112   0Rc0r 7113   1Rc1r 7114    .R cmr 7117   RRcr 7626   1c1 7628    x. cmul 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-0nq0 7241  df-plq0 7242  df-mq0 7243  df-inp 7281  df-i1p 7282  df-iplp 7283  df-imp 7284  df-enr 7541  df-nr 7542  df-plr 7543  df-mr 7544  df-0r 7546  df-1r 7547  df-m1r 7548  df-c 7633  df-1 7635  df-r 7637  df-mul 7639
This theorem is referenced by:  rereceu  7704  recriota  7705
  Copyright terms: Public domain W3C validator