Theorem ax1rid 7678

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 7720. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	|- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7623	. 2 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2		oveq1 5774	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( A x. 1 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2152	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( A x. 1 ) = A ) )
5		elsni 3540	. . 3 |- ( y e. { 0R } -> y = 0R )
6		df-1 7621	. . . . . . 7 |- 1 = <. 1R , 0R >.
7	6	oveq2i 5778	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. )
8		1sr 7552	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
9		mulresr 7639	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
10	8, 9	mpan2 421	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
11		1idsr 7569	. . . . . . . 8 |- ( x e. R. -> ( x .R 1R ) = x )
12	11	opeq1d 3706	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> <. ( x .R 1R ) , 0R >. = <. x , 0R >. )
13	10, 12	eqtrd 2170	. . . . . 6 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. x , 0R >. )
14	7, 13	syl5eq 2182	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. )
15		opeq2 3701	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
16	15	oveq1d 5782	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. 1 ) )
17	16, 15	eqeq12d 2152	. . . . 5 |- ( y = 0R -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. ) )
18	14, 17	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( y = 0R -> ( x e. R. -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. ) )
19	18	impcom 124	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y = 0R ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
20	5, 19	sylan2 284	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. { 0R } ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
21	1, 4, 20	optocl 4610	1 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3522   <.cop 3525  (class class class)co 5767   R.cnr 7098   0Rc0r 7099   1Rc1r 7100   .R cmr 7103   RRcr 7612   1c1 7614   x. cmul 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534  df-c 7619  df-1 7621  df-r 7623  df-mul 7625

This theorem is referenced by:  rereceu  7690  recriota  7691