Theorem ax1rid 7826

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 7868. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	|- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7771	. 2 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2		oveq1 5857	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( A x. 1 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2185	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( A x. 1 ) = A ) )
5		elsni 3599	. . 3 |- ( y e. { 0R } -> y = 0R )
6		df-1 7769	. . . . . . 7 |- 1 = <. 1R , 0R >.
7	6	oveq2i 5861	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. )
8		1sr 7700	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
9		mulresr 7787	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
10	8, 9	mpan2 423	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
11		1idsr 7717	. . . . . . . 8 |- ( x e. R. -> ( x .R 1R ) = x )
12	11	opeq1d 3769	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> <. ( x .R 1R ) , 0R >. = <. x , 0R >. )
13	10, 12	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. x , 0R >. )
14	7, 13	eqtrid 2215	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. )
15		opeq2 3764	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
16	15	oveq1d 5865	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. 1 ) )
17	16, 15	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( y = 0R -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. ) )
18	14, 17	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( y = 0R -> ( x e. R. -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. ) )
19	18	impcom 124	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y = 0R ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
20	5, 19	sylan2 284	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. { 0R } ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
21	1, 4, 20	optocl 4685	1 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3581   <.cop 3584  (class class class)co 5850   R.cnr 7246   0Rc0r 7247   1Rc1r 7248   .R cmr 7251   RRcr 7760   1c1 7762   x. cmul 7766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302  df-enq0 7373  df-nq0 7374  df-0nq0 7375  df-plq0 7376  df-mq0 7377  df-inp 7415  df-i1p 7416  df-iplp 7417  df-imp 7418  df-enr 7675  df-nr 7676  df-plr 7677  df-mr 7678  df-0r 7680  df-1r 7681  df-m1r 7682  df-c 7767  df-1 7769  df-r 7771  df-mul 7773

This theorem is referenced by:  rereceu  7838  recriota  7839