Theorem ax1rid 8097

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8139. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	|- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 8042	. 2 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2		oveq1 6025	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( A x. 1 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2246	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( A x. 1 ) = A ) )
5		elsni 3687	. . 3 |- ( y e. { 0R } -> y = 0R )
6		df-1 8040	. . . . . . 7 |- 1 = <. 1R , 0R >.
7	6	oveq2i 6029	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. )
8		1sr 7971	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
9		mulresr 8058	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. ( x .R 1R ) , 0R >. )
11		1idsr 7988	. . . . . . . 8 |- ( x e. R. -> ( x .R 1R ) = x )
12	11	opeq1d 3868	. . . . . . 7 |- ( x e. R. -> <. ( x .R 1R ) , 0R >. = <. x , 0R >. )
13	10, 12	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. <. 1R , 0R >. ) = <. x , 0R >. )
14	7, 13	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. )
15		opeq2 3863	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
16	15	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( <. x , y >. x. 1 ) = ( <. x , 0R >. x. 1 ) )
17	16, 15	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( y = 0R -> ( ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. <-> ( <. x , 0R >. x. 1 ) = <. x , 0R >. ) )
18	14, 17	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( y = 0R -> ( x e. R. -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. ) )
19	18	impcom 125	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y = 0R ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
20	5, 19	sylan2 286	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. { 0R } ) -> ( <. x , y >. x. 1 ) = <. x , y >. )
21	1, 4, 20	optocl 4802	1 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   <.cop 3672  (class class class)co 6018   R.cnr 7517   0Rc0r 7518   1Rc1r 7519   .R cmr 7522   RRcr 8031   1c1 8033   x. cmul 8037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-imp 7689  df-enr 7946  df-nr 7947  df-plr 7948  df-mr 7949  df-0r 7951  df-1r 7952  df-m1r 7953  df-c 8038  df-1 8040  df-r 8042  df-mul 8044

This theorem is referenced by:  rereceu  8109  recriota  8110