Theorem optocl 4687

Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	⊢ 𝐷 = (𝐵 × 𝐶)
optocl.2	⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
optocl.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
optocl	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp3 4665	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐶)))
2		opelxp 4641	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
3		optocl.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝜑)
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝜑)
5		optocl.2	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	4, 5	syl5ib 153	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝜓))
7	6	imp 123	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐶)) → 𝜓)
8	7	exlimivv 1889	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐶)) → 𝜓)
9	1, 8	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝜓)
10		optocl.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐵 × 𝐶)
11	9, 10	eleq2s 2265	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   × cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  2optocl  4688  3optocl  4689  ecoptocl  6600  ax1rid  7839  ax0id  7840  axcnre  7843