Theorem ax0id 7474

Description: 0 is an identity element for real addition. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0id 7514.

In the Metamath Proof Explorer this is not a complex number axiom but is instead proved from other axioms. That proof relies on excluded middle and it is not known whether it is possible to prove this from the other axioms without excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax0id	|- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )

Proof of Theorem ax0id

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7417	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		oveq1 5673	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. + 0 ) = ( A + 0 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2103	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. + 0 ) = <. x , y >. <-> ( A + 0 ) = A ) )
5		0r 7357	. . . 4 |- 0R e. R.
6		addcnsr 7432	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. )
7	5, 5, 6	mpanr12 431	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. )
8		df-0 7418	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
9	8	eqcomi 2093	. . . . 5 |- <. 0R , 0R >. = 0
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. 0R , 0R >. = 0 )
11	10	oveq2d 5682	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = ( <. x , y >. + 0 ) )
12		0idsr 7374	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( x +R 0R ) = x )
13	12	adantr 271	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x +R 0R ) = x )
14		0idsr 7374	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( y +R 0R ) = y )
15	14	adantl 272	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( y +R 0R ) = y )
16	13, 15	opeq12d 3636	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. = <. x , y >. )
17	7, 11, 16	3eqtr3d 2129	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + 0 ) = <. x , y >. )
18	1, 4, 17	optocl 4527	1 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   <.cop 3453  (class class class)co 5666   R.cnr 6917   0Rc0r 6918   +R cplr 6921   CCcc 7409   0cc0 7411   + caddc 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-0nq0 7046  df-plq0 7047  df-mq0 7048  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-iplp 7088  df-enr 7333  df-nr 7334  df-plr 7335  df-0r 7338  df-c 7417  df-0 7418  df-add 7422

This theorem is referenced by: (None)