Theorem ax0id 7876

Description: 0 is an identity element for real addition. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0id 7918.

In the Metamath Proof Explorer this is not a complex number axiom but is instead proved from other axioms. That proof relies on excluded middle and it is not known whether it is possible to prove this from the other axioms without excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax0id	|- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )

Proof of Theorem ax0id

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7816	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		oveq1 5881	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. + 0 ) = ( A + 0 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2192	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. + 0 ) = <. x , y >. <-> ( A + 0 ) = A ) )
5		0r 7748	. . . 4 |- 0R e. R.
6		addcnsr 7832	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. )
7	5, 5, 6	mpanr12 439	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. )
8		df-0 7817	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
9	8	eqcomi 2181	. . . . 5 |- <. 0R , 0R >. = 0
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. 0R , 0R >. = 0 )
11	10	oveq2d 5890	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = ( <. x , y >. + 0 ) )
12		0idsr 7765	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( x +R 0R ) = x )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x +R 0R ) = x )
14		0idsr 7765	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( y +R 0R ) = y )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( y +R 0R ) = y )
16	13, 15	opeq12d 3786	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. = <. x , y >. )
17	7, 11, 16	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + 0 ) = <. x , y >. )
18	1, 4, 17	optocl 4702	1 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595  (class class class)co 5874   R.cnr 7295   0Rc0r 7296   +R cplr 7299   CCcc 7808   0cc0 7810   + caddc 7813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-enr 7724  df-nr 7725  df-plr 7726  df-0r 7729  df-c 7816  df-0 7817  df-add 7821

This theorem is referenced by: (None)