Theorem ax0id 7877

Description: 0 is an identity element for real addition. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0id 7919.

In the Metamath Proof Explorer this is not a complex number axiom but is instead proved from other axioms. That proof relies on excluded middle and it is not known whether it is possible to prove this from the other axioms without excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax0id	|- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )

Proof of Theorem ax0id

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7817	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		oveq1 5882	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. + 0 ) = ( A + 0 ) )
3		id 19	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> <. x , y >. = A )
4	2, 3	eqeq12d 2192	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. + 0 ) = <. x , y >. <-> ( A + 0 ) = A ) )
5		0r 7749	. . . 4 |- 0R e. R.
6		addcnsr 7833	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. )
7	5, 5, 6	mpanr12 439	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. )
8		df-0 7818	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
9	8	eqcomi 2181	. . . . 5 |- <. 0R , 0R >. = 0
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. 0R , 0R >. = 0 )
11	10	oveq2d 5891	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + <. 0R , 0R >. ) = ( <. x , y >. + 0 ) )
12		0idsr 7766	. . . . 5 |- ( x e. R. -> ( x +R 0R ) = x )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x +R 0R ) = x )
14		0idsr 7766	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( y +R 0R ) = y )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( y +R 0R ) = y )
16	13, 15	opeq12d 3787	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x +R 0R ) , ( y +R 0R ) >. = <. x , y >. )
17	7, 11, 16	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , y >. + 0 ) = <. x , y >. )
18	1, 4, 17	optocl 4703	1 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3596  (class class class)co 5875   R.cnr 7296   0Rc0r 7297   +R cplr 7300   CCcc 7809   0cc0 7811   + caddc 7814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-0r 7730  df-c 7817  df-0 7818  df-add 7822

This theorem is referenced by: (None)