Theorem axcnre 8254

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8296. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem axcnre

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 8191	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		eqeq1 2245	. . 3 |- ( <. z , w >. = A -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
3	2	2rexbidv 2575	. 2 |- ( <. z , w >. = A -> ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
4		opelreal 8200	. . . . . 6 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
5		opelreal 8200	. . . . . 6 |- ( <. w , 0R >. e. RR <-> w e. R. )
6	4, 5	anbi12i 464	. . . . 5 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) <-> ( z e. R. /\ w e. R. ) )
7	6	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) )
8		df-i 8194	. . . . . . . . 9 |- _i = <. 0R , 1R >.
9	8	oveq1i 6098	. . . . . . . 8 |- ( _i x. <. w , 0R >. ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. )
10		0r 8123	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
11		1sr 8124	. . . . . . . . . . 11 |- 1R e. R.
12		mulcnsr 8208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( w e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
13	10, 11, 12	mpanl12 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
14	10, 13	mpan2 429	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
15		mulcomsrg 8130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
16	10, 15	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
17		00sr 8142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 0R ) = 0R )
18	16, 17	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = 0R )
19	18	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) )
20		00sr 8142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22	21	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
23		m1r 8125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
24		00sr 8142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
26	22, 25	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = 0R
27	26	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R 0R )
28		0idsr 8140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
29	10, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
30	27, 29	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R
31	19, 30	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R )
32		mulcomsrg 8130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
33	11, 32	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
34		1idsr 8141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 1R ) = w )
35	33, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = w )
36	35	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R ( 0R .R 0R ) ) )
37		00sr 8142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
39	38	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R 0R )
40		0idsr 8140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( w +R 0R ) = w )
41	39, 40	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
42	36, 41	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
43	31, 42	opeq12d 3912	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. = <. 0R , w >. )
44	14, 43	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
45	9, 44	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( _i x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
46	45	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
47	46	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
48		addcnsr 8207	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
49	10, 48	mpanl2 439	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
50	10, 49	mpanr1 441	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
51		0idsr 8140	. . . . . 6 |- ( z e. R. -> ( z +R 0R ) = z )
52		addcomsrg 8128	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
53	10, 52	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
54	53, 40	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = w )
55		opeq12 3906	. . . . . 6 |- ( ( ( z +R 0R ) = z /\ ( 0R +R w ) = w ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
56	51, 54, 55	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
57	47, 50, 56	3eqtrrd 2276	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
58		vex 2824	. . . . . 6 |- z e. _V
59		opexg 4370	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. z , 0R >. e. _V )
60	58, 10, 59	mp2an 430	. . . . 5 |- <. z , 0R >. e. _V
61		vex 2824	. . . . . 6 |- w e. _V
62		opexg 4370	. . . . . 6 |- ( ( w e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. w , 0R >. e. _V )
63	61, 10, 62	mp2an 430	. . . . 5 |- <. w , 0R >. e. _V
64		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. z , 0R >. e. RR ) )
65		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. w , 0R >. e. RR ) )
66	64, 65	bi2anan9 614	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) ) )
67		oveq1 6095	. . . . . . . 8 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) )
68		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( _i x. y ) = ( _i x. <. w , 0R >. ) )
69	68	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
70	67, 69	sylan9eq 2291	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
71	70	eqeq2d 2250	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) )
72	66, 71	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) <-> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) ) )
73	60, 63, 72	spc2ev 2921	. . . 4 |- ( ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
74	7, 57, 73	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
75		r2ex 2570	. . 3 |- ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
76	74, 75	sylibr 134	. 2 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) )
77	1, 3, 76	optocl 4853	1 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   <.cop 3712  (class class class)co 6088   R.cnr 7670   0Rc0r 7671   1Rc1r 7672   -1Rcm1r 7673   +R cplr 7674   .R cmr 7675   CCcc 8183   RRcr 8184   _ici 8187   + caddc 8188   x. cmul 8190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-imp 7842  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-mr 8102  df-0r 8104  df-1r 8105  df-m1r 8106  df-c 8191  df-i 8194  df-r 8195  df-add 8196  df-mul 8197

This theorem is used by: (None)