Theorem axcnre 8238

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8280. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem axcnre

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 8175	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		eqeq1 2245	. . 3 |- ( <. z , w >. = A -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
3	2	2rexbidv 2575	. 2 |- ( <. z , w >. = A -> ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
4		opelreal 8184	. . . . . 6 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
5		opelreal 8184	. . . . . 6 |- ( <. w , 0R >. e. RR <-> w e. R. )
6	4, 5	anbi12i 464	. . . . 5 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) <-> ( z e. R. /\ w e. R. ) )
7	6	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) )
8		df-i 8178	. . . . . . . . 9 |- _i = <. 0R , 1R >.
9	8	oveq1i 6085	. . . . . . . 8 |- ( _i x. <. w , 0R >. ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. )
10		0r 8107	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
11		1sr 8108	. . . . . . . . . . 11 |- 1R e. R.
12		mulcnsr 8192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( w e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
13	10, 11, 12	mpanl12 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
14	10, 13	mpan2 429	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
15		mulcomsrg 8114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
16	10, 15	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
17		00sr 8126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 0R ) = 0R )
18	16, 17	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = 0R )
19	18	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) )
20		00sr 8126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22	21	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
23		m1r 8109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
24		00sr 8126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
26	22, 25	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = 0R
27	26	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R 0R )
28		0idsr 8124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
29	10, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
30	27, 29	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R
31	19, 30	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R )
32		mulcomsrg 8114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
33	11, 32	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
34		1idsr 8125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 1R ) = w )
35	33, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = w )
36	35	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R ( 0R .R 0R ) ) )
37		00sr 8126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
39	38	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R 0R )
40		0idsr 8124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( w +R 0R ) = w )
41	39, 40	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
42	36, 41	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
43	31, 42	opeq12d 3907	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. = <. 0R , w >. )
44	14, 43	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
45	9, 44	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( _i x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
46	45	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
47	46	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
48		addcnsr 8191	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
49	10, 48	mpanl2 439	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
50	10, 49	mpanr1 441	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
51		0idsr 8124	. . . . . 6 |- ( z e. R. -> ( z +R 0R ) = z )
52		addcomsrg 8112	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
53	10, 52	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
54	53, 40	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = w )
55		opeq12 3901	. . . . . 6 |- ( ( ( z +R 0R ) = z /\ ( 0R +R w ) = w ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
56	51, 54, 55	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
57	47, 50, 56	3eqtrrd 2276	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
58		vex 2824	. . . . . 6 |- z e. _V
59		opexg 4363	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. z , 0R >. e. _V )
60	58, 10, 59	mp2an 430	. . . . 5 |- <. z , 0R >. e. _V
61		vex 2824	. . . . . 6 |- w e. _V
62		opexg 4363	. . . . . 6 |- ( ( w e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. w , 0R >. e. _V )
63	61, 10, 62	mp2an 430	. . . . 5 |- <. w , 0R >. e. _V
64		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. z , 0R >. e. RR ) )
65		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. w , 0R >. e. RR ) )
66	64, 65	bi2anan9 614	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) ) )
67		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) )
68		oveq2 6083	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( _i x. y ) = ( _i x. <. w , 0R >. ) )
69	68	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
70	67, 69	sylan9eq 2291	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
71	70	eqeq2d 2250	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) )
72	66, 71	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) <-> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) ) )
73	60, 63, 72	spc2ev 2921	. . . 4 |- ( ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
74	7, 57, 73	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
75		r2ex 2570	. . 3 |- ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
76	74, 75	sylibr 134	. 2 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) )
77	1, 3, 76	optocl 4846	1 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   <.cop 3708  (class class class)co 6075   R.cnr 7654   0Rc0r 7655   1Rc1r 7656   -1Rcm1r 7657   +R cplr 7658   .R cmr 7659   CCcc 8167   RRcr 8168   _ici 8171   + caddc 8172   x. cmul 8174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-imp 7826  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-mr 8086  df-0r 8088  df-1r 8089  df-m1r 8090  df-c 8175  df-i 8178  df-r 8179  df-add 8180  df-mul 8181

This theorem is referenced by: (None)