Theorem axcnre 8100

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8142. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem axcnre

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 8037	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		eqeq1 2238	. . 3 |- ( <. z , w >. = A -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
3	2	2rexbidv 2557	. 2 |- ( <. z , w >. = A -> ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
4		opelreal 8046	. . . . . 6 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
5		opelreal 8046	. . . . . 6 |- ( <. w , 0R >. e. RR <-> w e. R. )
6	4, 5	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) <-> ( z e. R. /\ w e. R. ) )
7	6	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) )
8		df-i 8040	. . . . . . . . 9 |- _i = <. 0R , 1R >.
9	8	oveq1i 6027	. . . . . . . 8 |- ( _i x. <. w , 0R >. ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. )
10		0r 7969	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
11		1sr 7970	. . . . . . . . . . 11 |- 1R e. R.
12		mulcnsr 8054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( w e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
13	10, 11, 12	mpanl12 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
14	10, 13	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
15		mulcomsrg 7976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
16	10, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
17		00sr 7988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 0R ) = 0R )
18	16, 17	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = 0R )
19	18	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) )
20		00sr 7988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22	21	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
23		m1r 7971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
24		00sr 7988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
26	22, 25	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = 0R
27	26	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R 0R )
28		0idsr 7986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
29	10, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
30	27, 29	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R
31	19, 30	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R )
32		mulcomsrg 7976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
33	11, 32	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
34		1idsr 7987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 1R ) = w )
35	33, 34	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = w )
36	35	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R ( 0R .R 0R ) ) )
37		00sr 7988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
39	38	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R 0R )
40		0idsr 7986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( w +R 0R ) = w )
41	39, 40	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
42	36, 41	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
43	31, 42	opeq12d 3870	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. = <. 0R , w >. )
44	14, 43	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
45	9, 44	eqtrid 2276	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( _i x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
46	45	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
47	46	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
48		addcnsr 8053	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
49	10, 48	mpanl2 435	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
50	10, 49	mpanr1 437	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
51		0idsr 7986	. . . . . 6 |- ( z e. R. -> ( z +R 0R ) = z )
52		addcomsrg 7974	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
53	10, 52	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
54	53, 40	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = w )
55		opeq12 3864	. . . . . 6 |- ( ( ( z +R 0R ) = z /\ ( 0R +R w ) = w ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
56	51, 54, 55	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
57	47, 50, 56	3eqtrrd 2269	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
58		vex 2805	. . . . . 6 |- z e. _V
59		opexg 4320	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. z , 0R >. e. _V )
60	58, 10, 59	mp2an 426	. . . . 5 |- <. z , 0R >. e. _V
61		vex 2805	. . . . . 6 |- w e. _V
62		opexg 4320	. . . . . 6 |- ( ( w e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. w , 0R >. e. _V )
63	61, 10, 62	mp2an 426	. . . . 5 |- <. w , 0R >. e. _V
64		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. z , 0R >. e. RR ) )
65		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. w , 0R >. e. RR ) )
66	64, 65	bi2anan9 610	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) ) )
67		oveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) )
68		oveq2 6025	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( _i x. y ) = ( _i x. <. w , 0R >. ) )
69	68	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
70	67, 69	sylan9eq 2284	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
71	70	eqeq2d 2243	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) )
72	66, 71	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) <-> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) ) )
73	60, 63, 72	spc2ev 2902	. . . 4 |- ( ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
74	7, 57, 73	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
75		r2ex 2552	. . 3 |- ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
76	74, 75	sylibr 134	. 2 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) )
77	1, 3, 76	optocl 4802	1 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   <.cop 3672  (class class class)co 6017   R.cnr 7516   0Rc0r 7517   1Rc1r 7518   -1Rcm1r 7519   +R cplr 7520   .R cmr 7521   CCcc 8029   RRcr 8030   _ici 8033   + caddc 8034   x. cmul 8036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-imp 7688  df-enr 7945  df-nr 7946  df-plr 7947  df-mr 7948  df-0r 7950  df-1r 7951  df-m1r 7952  df-c 8037  df-i 8040  df-r 8041  df-add 8042  df-mul 8043

This theorem is referenced by: (None)