Theorem axcnre 8161

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8203. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem axcnre

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 8098	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		eqeq1 2238	. . 3 |- ( <. z , w >. = A -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
3	2	2rexbidv 2558	. 2 |- ( <. z , w >. = A -> ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
4		opelreal 8107	. . . . . 6 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
5		opelreal 8107	. . . . . 6 |- ( <. w , 0R >. e. RR <-> w e. R. )
6	4, 5	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) <-> ( z e. R. /\ w e. R. ) )
7	6	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) )
8		df-i 8101	. . . . . . . . 9 |- _i = <. 0R , 1R >.
9	8	oveq1i 6038	. . . . . . . 8 |- ( _i x. <. w , 0R >. ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. )
10		0r 8030	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
11		1sr 8031	. . . . . . . . . . 11 |- 1R e. R.
12		mulcnsr 8115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( w e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
13	10, 11, 12	mpanl12 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
14	10, 13	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
15		mulcomsrg 8037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
16	10, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
17		00sr 8049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 0R ) = 0R )
18	16, 17	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = 0R )
19	18	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) )
20		00sr 8049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22	21	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
23		m1r 8032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
24		00sr 8049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
26	22, 25	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = 0R
27	26	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R 0R )
28		0idsr 8047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
29	10, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
30	27, 29	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R
31	19, 30	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R )
32		mulcomsrg 8037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
33	11, 32	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
34		1idsr 8048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 1R ) = w )
35	33, 34	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = w )
36	35	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R ( 0R .R 0R ) ) )
37		00sr 8049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
39	38	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R 0R )
40		0idsr 8047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( w +R 0R ) = w )
41	39, 40	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
42	36, 41	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
43	31, 42	opeq12d 3875	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. = <. 0R , w >. )
44	14, 43	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
45	9, 44	eqtrid 2276	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( _i x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
46	45	oveq2d 6044	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
47	46	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
48		addcnsr 8114	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
49	10, 48	mpanl2 435	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
50	10, 49	mpanr1 437	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
51		0idsr 8047	. . . . . 6 |- ( z e. R. -> ( z +R 0R ) = z )
52		addcomsrg 8035	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
53	10, 52	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
54	53, 40	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = w )
55		opeq12 3869	. . . . . 6 |- ( ( ( z +R 0R ) = z /\ ( 0R +R w ) = w ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
56	51, 54, 55	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
57	47, 50, 56	3eqtrrd 2269	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
58		vex 2806	. . . . . 6 |- z e. _V
59		opexg 4326	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. z , 0R >. e. _V )
60	58, 10, 59	mp2an 426	. . . . 5 |- <. z , 0R >. e. _V
61		vex 2806	. . . . . 6 |- w e. _V
62		opexg 4326	. . . . . 6 |- ( ( w e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. w , 0R >. e. _V )
63	61, 10, 62	mp2an 426	. . . . 5 |- <. w , 0R >. e. _V
64		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. z , 0R >. e. RR ) )
65		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. w , 0R >. e. RR ) )
66	64, 65	bi2anan9 610	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) ) )
67		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) )
68		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( _i x. y ) = ( _i x. <. w , 0R >. ) )
69	68	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
70	67, 69	sylan9eq 2284	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
71	70	eqeq2d 2243	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) )
72	66, 71	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) <-> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) ) )
73	60, 63, 72	spc2ev 2903	. . . 4 |- ( ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
74	7, 57, 73	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
75		r2ex 2553	. . 3 |- ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
76	74, 75	sylibr 134	. 2 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) )
77	1, 3, 76	optocl 4808	1 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   <.cop 3676  (class class class)co 6028   R.cnr 7577   0Rc0r 7578   1Rc1r 7579   -1Rcm1r 7580   +R cplr 7581   .R cmr 7582   CCcc 8090   RRcr 8091   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-1nqqs 7631  df-rq 7632  df-ltnqqs 7633  df-enq0 7704  df-nq0 7705  df-0nq0 7706  df-plq0 7707  df-mq0 7708  df-inp 7746  df-i1p 7747  df-iplp 7748  df-imp 7749  df-enr 8006  df-nr 8007  df-plr 8008  df-mr 8009  df-0r 8011  df-1r 8012  df-m1r 8013  df-c 8098  df-i 8101  df-r 8102  df-add 8103  df-mul 8104

This theorem is referenced by: (None)