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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axcnre | Unicode version |
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7924. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axcnre |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-c 7819 |
. 2
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2 | eqeq1 2184 |
. . 3
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3 | 2 | 2rexbidv 2502 |
. 2
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4 | opelreal 7828 |
. . . . . 6
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5 | opelreal 7828 |
. . . . . 6
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6 | 4, 5 | anbi12i 460 |
. . . . 5
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7 | 6 | biimpri 133 |
. . . 4
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8 | df-i 7822 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | oveq1i 5887 |
. . . . . . . 8
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10 | 0r 7751 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 1sr 7752 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | mulcnsr 7836 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 10, 11, 12 | mpanl12 436 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 10, 13 | mpan2 425 |
. . . . . . . . 9
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15 | mulcomsrg 7758 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 10, 15 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 00sr 7770 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | 16, 17 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 18 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 00sr 7770 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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21 | 11, 20 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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22 | 21 | oveq2i 5888 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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23 | m1r 7753 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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24 | 00sr 7770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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25 | 23, 24 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | 22, 25 | eqtri 2198 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | oveq2i 5888 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 0idsr 7768 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 10, 28 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 27, 29 | eqtri 2198 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 19, 30 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . 10
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32 | mulcomsrg 7758 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 11, 32 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 1idsr 7769 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 33, 34 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 00sr 7770 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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38 | 10, 37 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 38 | oveq2i 5888 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 0idsr 7768 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 39, 40 | eqtrid 2222 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 36, 41 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 31, 42 | opeq12d 3788 |
. . . . . . . . 9
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44 | 14, 43 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
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45 | 9, 44 | eqtrid 2222 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | oveq2d 5893 |
. . . . . 6
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47 | 46 | adantl 277 |
. . . . 5
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48 | addcnsr 7835 |
. . . . . . 7
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49 | 10, 48 | mpanl2 435 |
. . . . . 6
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50 | 10, 49 | mpanr1 437 |
. . . . 5
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51 | 0idsr 7768 |
. . . . . 6
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52 | addcomsrg 7756 |
. . . . . . . 8
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53 | 10, 52 | mpan 424 |
. . . . . . 7
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54 | 53, 40 | eqtrd 2210 |
. . . . . 6
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55 | opeq12 3782 |
. . . . . 6
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56 | 51, 54, 55 | syl2an 289 |
. . . . 5
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57 | 47, 50, 56 | 3eqtrrd 2215 |
. . . 4
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58 | vex 2742 |
. . . . . 6
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59 | opexg 4230 |
. . . . . 6
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60 | 58, 10, 59 | mp2an 426 |
. . . . 5
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61 | vex 2742 |
. . . . . 6
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62 | opexg 4230 |
. . . . . 6
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63 | 61, 10, 62 | mp2an 426 |
. . . . 5
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64 | eleq1 2240 |
. . . . . . 7
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65 | eleq1 2240 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 65 | bi2anan9 606 |
. . . . . 6
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67 | oveq1 5884 |
. . . . . . . 8
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68 | oveq2 5885 |
. . . . . . . . 9
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69 | 68 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . 8
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70 | 67, 69 | sylan9eq 2230 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | eqeq2d 2189 |
. . . . . 6
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72 | 66, 71 | anbi12d 473 |
. . . . 5
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73 | 60, 63, 72 | spc2ev 2835 |
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74 | 7, 57, 73 | syl2anc 411 |
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75 | r2ex 2497 |
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76 | 74, 75 | sylibr 134 |
. 2
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77 | 1, 3, 76 | optocl 4704 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-eprel 4291 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-1o 6419 df-2o 6420 df-oadd 6423 df-omul 6424 df-er 6537 df-ec 6539 df-qs 6543 df-ni 7305 df-pli 7306 df-mi 7307 df-lti 7308 df-plpq 7345 df-mpq 7346 df-enq 7348 df-nqqs 7349 df-plqqs 7350 df-mqqs 7351 df-1nqqs 7352 df-rq 7353 df-ltnqqs 7354 df-enq0 7425 df-nq0 7426 df-0nq0 7427 df-plq0 7428 df-mq0 7429 df-inp 7467 df-i1p 7468 df-iplp 7469 df-imp 7470 df-enr 7727 df-nr 7728 df-plr 7729 df-mr 7730 df-0r 7732 df-1r 7733 df-m1r 7734 df-c 7819 df-i 7822 df-r 7823 df-add 7824 df-mul 7825 |
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