Theorem dif1en 6675

Description: If a set A is equinumerous to the successor of a natural number M, then A with an element removed is equinumerous to M. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1en	|- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Proof of Theorem dif1en

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 947	. . . 4 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A ~~ suc M )
2	1	ensymd 6580	. . 3 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M ~~ A )
3		bren 6544	. . 3 |- ( suc M ~~ A <-> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
4	2, 3	sylib 121	. 2 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
5		peano2 4438	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> suc M e. om )
6		nnfi 6668	. . . . . . . 8 |- ( suc M e. om -> suc M e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> suc M e. Fin )
8	7	3ad2ant1 967	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M e. Fin )
9		enfii 6670	. . . . . 6 |- ( ( suc M e. Fin /\ A ~~ suc M ) -> A e. Fin )
10	8, 1, 9	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A e. Fin )
11	10	adantr 271	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
12		simpl3 951	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> X e. A )
13		f1of 5288	. . . . . 6 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M --> A )
14	13	adantl 272	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M --> A )
15		sucidg 4267	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M e. suc M )
16	15	3ad2ant1 967	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M e. suc M )
17	16	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. suc M )
18	14, 17	ffvelrnd 5474	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f ` M ) e. A )
19		fidifsnen 6666	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ ( f ` M ) e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1181	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
21		nnord 4454	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> Ord M )
22		orddif 4391	. . . . . . . 8 |- ( Ord M -> M = ( suc M \ { M } ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M = ( suc M \ { M } ) )
24	23	3ad2ant1 967	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
25	24	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
26	23	eleq1d 2163	. . . . . . . . 9 |- ( M e. om -> ( M e. om <-> ( suc M \ { M } ) e. om ) )
27	26	ibi 175	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> ( suc M \ { M } ) e. om )
28	27	3ad2ant1 967	. . . . . . 7 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
29	28	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
30		dff1o2 5293	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A <-> ( f Fn suc M /\ Fun `' f /\ ran f = A ) )
31	30	simp2bi 962	. . . . . . . 8 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Fun `' f )
32	31	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Fun `' f )
33		f1ofo 5295	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M -onto-> A )
34	33	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M -onto-> A )
35		f1orel 5291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Rel f )
36	35	adantl 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Rel f )
37		resdm 4784	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel f -> ( f |` dom f ) = f )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = f )
39		f1odm 5292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> dom f = suc M )
40	39	reseq2d 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
41	40	adantl 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
42	38, 41	eqtr3d 2129	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f = ( f |` suc M ) )
43		foeq1 5264	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( f |` suc M ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
45	34, 44	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A )
46		simpl1 949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. om )
47		f1osng 5329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. om /\ ( f ` M ) e. A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
48	46, 18, 47	syl2anc 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
49		f1ofo 5295	. . . . . . . . 9 |- ( { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
51		f1ofn 5289	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f Fn suc M )
52	51	adantl 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f Fn suc M )
53		fnressn 5522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn suc M /\ M e. suc M ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
54	52, 17, 53	syl2anc 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
55		foeq1 5264	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
57	50, 56	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
58		resdif 5310	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' f /\ ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A /\ ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
59	32, 45, 57, 58	syl3anc 1181	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
60		f1oeng 6554	. . . . . 6 |- ( ( ( suc M \ { M } ) e. om /\ ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
61	29, 59, 60	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
62	25, 61	eqbrtrd 3887	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
63	62	ensymd 6580	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M )
64		entr 6581	. . 3 |- ( ( ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) /\ ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
65	20, 63, 64	syl2anc 404	. 2 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
66	4, 65	exlimddv 1833	1 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   \ cdif 3010   {csn 3466   <.cop 3469   class class class wbr 3867   Ord word 4213   suc csuc 4216   omcom 4433   `'ccnv 4466   dom cdm 4467   ran crn 4468   |` cres 4469   Rel wrel 4472   Fun wfun 5043   Fn wfn 5044   -->wf 5045   -onto->wfo 5047   -1-1-onto->wf1o 5048   ` cfv 5049   ~~ cen 6535   Fincfn 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540

This theorem is referenced by:  dif1enen  6676  findcard  6684  findcard2  6685  findcard2s  6686  diffisn  6689  en2eleq  6918  en2other2  6919  zfz1isolem1  10376