Theorem dif1en 6825

Description: If a set A is equinumerous to the successor of a natural number M, then A with an element removed is equinumerous to M. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1en	|- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Proof of Theorem dif1en

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 983	. . . 4 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A ~~ suc M )
2	1	ensymd 6729	. . 3 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M ~~ A )
3		bren 6693	. . 3 |- ( suc M ~~ A <-> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
4	2, 3	sylib 121	. 2 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
5		peano2 4555	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> suc M e. om )
6		nnfi 6818	. . . . . . . 8 |- ( suc M e. om -> suc M e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> suc M e. Fin )
8	7	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M e. Fin )
9		enfii 6820	. . . . . 6 |- ( ( suc M e. Fin /\ A ~~ suc M ) -> A e. Fin )
10	8, 1, 9	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A e. Fin )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
12		simpl3 987	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> X e. A )
13		f1of 5415	. . . . . 6 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M --> A )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M --> A )
15		sucidg 4377	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M e. suc M )
16	15	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M e. suc M )
17	16	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. suc M )
18	14, 17	ffvelrnd 5604	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f ` M ) e. A )
19		fidifsnen 6816	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ ( f ` M ) e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1220	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
21		nnord 4572	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> Ord M )
22		orddif 4507	. . . . . . . 8 |- ( Ord M -> M = ( suc M \ { M } ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M = ( suc M \ { M } ) )
24	23	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
25	24	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
26	23	eleq1d 2226	. . . . . . . . 9 |- ( M e. om -> ( M e. om <-> ( suc M \ { M } ) e. om ) )
27	26	ibi 175	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> ( suc M \ { M } ) e. om )
28	27	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
29	28	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
30		dff1o2 5420	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A <-> ( f Fn suc M /\ Fun `' f /\ ran f = A ) )
31	30	simp2bi 998	. . . . . . . 8 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Fun `' f )
32	31	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Fun `' f )
33		f1ofo 5422	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M -onto-> A )
34	33	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M -onto-> A )
35		f1orel 5418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Rel f )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Rel f )
37		resdm 4906	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel f -> ( f |` dom f ) = f )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = f )
39		f1odm 5419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> dom f = suc M )
40	39	reseq2d 4867	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
41	40	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
42	38, 41	eqtr3d 2192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f = ( f |` suc M ) )
43		foeq1 5389	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( f |` suc M ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
45	34, 44	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A )
46		simpl1 985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. om )
47		f1osng 5456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. om /\ ( f ` M ) e. A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
48	46, 18, 47	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
49		f1ofo 5422	. . . . . . . . 9 |- ( { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
51		f1ofn 5416	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f Fn suc M )
52	51	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f Fn suc M )
53		fnressn 5654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn suc M /\ M e. suc M ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
54	52, 17, 53	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
55		foeq1 5389	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
57	50, 56	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
58		resdif 5437	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' f /\ ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A /\ ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
59	32, 45, 57, 58	syl3anc 1220	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
60		f1oeng 6703	. . . . . 6 |- ( ( ( suc M \ { M } ) e. om /\ ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
61	29, 59, 60	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
62	25, 61	eqbrtrd 3987	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
63	62	ensymd 6729	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M )
64		entr 6730	. . 3 |- ( ( ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) /\ ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
65	20, 63, 64	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
66	4, 65	exlimddv 1878	1 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   \ cdif 3099   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3966   Ord word 4323   suc csuc 4326   omcom 4550   `'ccnv 4586   dom cdm 4587   ran crn 4588   |` cres 4589   Rel wrel 4592   Fun wfun 5165   Fn wfn 5166   -->wf 5167   -onto->wfo 5169   -1-1-onto->wf1o 5170   ` cfv 5171   ~~ cen 6684   Fincfn 6686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-er 6481  df-en 6687  df-fin 6689

This theorem is referenced by:  dif1enen  6826  findcard  6834  findcard2  6835  findcard2s  6836  diffisn  6839  en2eleq  7131  en2other2  7132  zfz1isolem1  10715