Theorem dif1en 6857

Description: If a set A is equinumerous to the successor of a natural number M, then A with an element removed is equinumerous to M. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1en	|- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Proof of Theorem dif1en

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 993	. . . 4 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A ~~ suc M )
2	1	ensymd 6761	. . 3 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M ~~ A )
3		bren 6725	. . 3 |- ( suc M ~~ A <-> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
4	2, 3	sylib 121	. 2 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
5		peano2 4579	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> suc M e. om )
6		nnfi 6850	. . . . . . . 8 |- ( suc M e. om -> suc M e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> suc M e. Fin )
8	7	3ad2ant1 1013	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M e. Fin )
9		enfii 6852	. . . . . 6 |- ( ( suc M e. Fin /\ A ~~ suc M ) -> A e. Fin )
10	8, 1, 9	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A e. Fin )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
12		simpl3 997	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> X e. A )
13		f1of 5442	. . . . . 6 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M --> A )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M --> A )
15		sucidg 4401	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M e. suc M )
16	15	3ad2ant1 1013	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M e. suc M )
17	16	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. suc M )
18	14, 17	ffvelrnd 5632	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f ` M ) e. A )
19		fidifsnen 6848	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ ( f ` M ) e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
21		nnord 4596	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> Ord M )
22		orddif 4531	. . . . . . . 8 |- ( Ord M -> M = ( suc M \ { M } ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M = ( suc M \ { M } ) )
24	23	3ad2ant1 1013	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
25	24	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
26	23	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( M e. om -> ( M e. om <-> ( suc M \ { M } ) e. om ) )
27	26	ibi 175	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> ( suc M \ { M } ) e. om )
28	27	3ad2ant1 1013	. . . . . . 7 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
29	28	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
30		dff1o2 5447	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A <-> ( f Fn suc M /\ Fun `' f /\ ran f = A ) )
31	30	simp2bi 1008	. . . . . . . 8 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Fun `' f )
32	31	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Fun `' f )
33		f1ofo 5449	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M -onto-> A )
34	33	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M -onto-> A )
35		f1orel 5445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Rel f )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Rel f )
37		resdm 4930	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel f -> ( f |` dom f ) = f )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = f )
39		f1odm 5446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> dom f = suc M )
40	39	reseq2d 4891	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
41	40	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
42	38, 41	eqtr3d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f = ( f |` suc M ) )
43		foeq1 5416	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( f |` suc M ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
45	34, 44	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A )
46		simpl1 995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. om )
47		f1osng 5483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. om /\ ( f ` M ) e. A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
48	46, 18, 47	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
49		f1ofo 5449	. . . . . . . . 9 |- ( { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
51		f1ofn 5443	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f Fn suc M )
52	51	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f Fn suc M )
53		fnressn 5682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn suc M /\ M e. suc M ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
54	52, 17, 53	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
55		foeq1 5416	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
57	50, 56	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
58		resdif 5464	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' f /\ ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A /\ ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
59	32, 45, 57, 58	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
60		f1oeng 6735	. . . . . 6 |- ( ( ( suc M \ { M } ) e. om /\ ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
61	29, 59, 60	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
62	25, 61	eqbrtrd 4011	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
63	62	ensymd 6761	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M )
64		entr 6762	. . 3 |- ( ( ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) /\ ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
65	20, 63, 64	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
66	4, 65	exlimddv 1891	1 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   \ cdif 3118   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612   |` cres 4613   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   ~~ cen 6716   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  dif1enen  6858  findcard  6866  findcard2  6867  findcard2s  6868  diffisn  6871  en2eleq  7172  en2other2  7173  zfz1isolem1  10775