Theorem dif1en 6940

Description: If a set A is equinumerous to the successor of a natural number M, then A with an element removed is equinumerous to M. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1en	|- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Proof of Theorem dif1en

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A ~~ suc M )
2	1	ensymd 6842	. . 3 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M ~~ A )
3		bren 6806	. . 3 |- ( suc M ~~ A <-> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
4	2, 3	sylib 122	. 2 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> E. f f : suc M -1-1-onto-> A )
5		peano2 4631	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> suc M e. om )
6		nnfi 6933	. . . . . . . 8 |- ( suc M e. om -> suc M e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> suc M e. Fin )
8	7	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> suc M e. Fin )
9		enfii 6935	. . . . . 6 |- ( ( suc M e. Fin /\ A ~~ suc M ) -> A e. Fin )
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> A e. Fin )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
12		simpl3 1004	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> X e. A )
13		f1of 5504	. . . . . 6 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M --> A )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M --> A )
15		sucidg 4451	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M e. suc M )
16	15	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M e. suc M )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. suc M )
18	14, 17	ffvelcdmd 5698	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f ` M ) e. A )
19		fidifsnen 6931	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ ( f ` M ) e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
20	11, 12, 18, 19	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
21		nnord 4648	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> Ord M )
22		orddif 4583	. . . . . . . 8 |- ( Ord M -> M = ( suc M \ { M } ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( M e. om -> M = ( suc M \ { M } ) )
24	23	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
25	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M = ( suc M \ { M } ) )
26	23	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( M e. om -> ( M e. om <-> ( suc M \ { M } ) e. om ) )
27	26	ibi 176	. . . . . . . 8 |- ( M e. om -> ( suc M \ { M } ) e. om )
28	27	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) e. om )
30		dff1o2 5509	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A <-> ( f Fn suc M /\ Fun `' f /\ ran f = A ) )
31	30	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Fun `' f )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Fun `' f )
33		f1ofo 5511	. . . . . . . . 9 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f : suc M -onto-> A )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f : suc M -onto-> A )
35		f1orel 5507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> Rel f )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> Rel f )
37		resdm 4985	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel f -> ( f |` dom f ) = f )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = f )
39		f1odm 5508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> dom f = suc M )
40	39	reseq2d 4946	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` dom f ) = ( f |` suc M ) )
42	38, 41	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f = ( f |` suc M ) )
43		foeq1 5476	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( f |` suc M ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f : suc M -onto-> A <-> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A ) )
45	34, 44	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A )
46		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M e. om )
47		f1osng 5545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. om /\ ( f ` M ) e. A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
48	46, 18, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } )
49		f1ofo 5511	. . . . . . . . 9 |- ( { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -1-1-onto-> { ( f ` M ) } -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
51		f1ofn 5505	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc M -1-1-onto-> A -> f Fn suc M )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> f Fn suc M )
53		fnressn 5748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn suc M /\ M e. suc M ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
54	52, 17, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } )
55		foeq1 5476	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` { M } ) = { <. M , ( f ` M ) >. } -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } <-> { <. M , ( f ` M ) >. } : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) )
57	50, 56	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } )
58		resdif 5526	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' f /\ ( f |` suc M ) : suc M -onto-> A /\ ( f |` { M } ) : { M } -onto-> { ( f ` M ) } ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
59	32, 45, 57, 58	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) )
60		f1oeng 6816	. . . . . 6 |- ( ( ( suc M \ { M } ) e. om /\ ( f |` ( suc M \ { M } ) ) : ( suc M \ { M } ) -1-1-onto-> ( A \ { ( f ` M ) } ) ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
61	29, 59, 60	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( suc M \ { M } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
62	25, 61	eqbrtrd 4055	. . . 4 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> M ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) )
63	62	ensymd 6842	. . 3 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M )
64		entr 6843	. . 3 |- ( ( ( A \ { X } ) ~~ ( A \ { ( f ` M ) } ) /\ ( A \ { ( f ` M ) } ) ~~ M ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
65	20, 63, 64	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) /\ f : suc M -1-1-onto-> A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )
66	4, 65	exlimddv 1913	1 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ X e. A ) -> ( A \ { X } ) ~~ M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   \ cdif 3154   {csn 3622   <.cop 3625   class class class wbr 4033   Ord word 4397   suc csuc 4400   omcom 4626   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   ran crn 4664   |` cres 4665   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258   ~~ cen 6797   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  dif1enen  6941  findcard  6949  findcard2  6950  findcard2s  6951  diffisn  6954  en2eleq  7262  en2other2  7263  zfz1isolem1  10932