Theorem resmpo 5869

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpo	|- ( ( C C_ A /\ D C_ B ) -> ( ( x e. A , y e. B |-> E ) |` ( C X. D ) ) = ( x e. C , y e. D |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem resmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resoprab2 5868	. 2 |- ( ( C C_ A /\ D C_ B ) -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = E ) } |` ( C X. D ) ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ z = E ) } )
2		df-mpo 5779	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> E ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = E ) }
3	2	reseq1i 4815	. 2 |- ( ( x e. A , y e. B |-> E ) |` ( C X. D ) ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = E ) } |` ( C X. D ) )
4		df-mpo 5779	. 2 |- ( x e. C , y e. D |-> E ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ z = E ) }
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2197	1 |- ( ( C C_ A /\ D C_ B ) -> ( ( x e. A , y e. B |-> E ) |` ( C X. D ) ) = ( x e. C , y e. D |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   X. cxp 4537   |` cres 4541   {coprab 5775   e. cmpo 5776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-res 4551  df-oprab 5778  df-mpo 5779

This theorem is referenced by:  ofmres  6034  divfnzn  9416  txss12  12438  txbasval  12439  cnmpt2res  12469