Theorem resmpo 5951

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpo	|- ( ( C C_ A /\ D C_ B ) -> ( ( x e. A , y e. B |-> E ) |` ( C X. D ) ) = ( x e. C , y e. D |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem resmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resoprab2 5950	. 2 |- ( ( C C_ A /\ D C_ B ) -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = E ) } |` ( C X. D ) ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ z = E ) } )
2		df-mpo 5858	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> E ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = E ) }
3	2	reseq1i 4887	. 2 |- ( ( x e. A , y e. B |-> E ) |` ( C X. D ) ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = E ) } |` ( C X. D ) )
4		df-mpo 5858	. 2 |- ( x e. C , y e. D |-> E ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ z = E ) }
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2228	1 |- ( ( C C_ A /\ D C_ B ) -> ( ( x e. A , y e. B |-> E ) |` ( C X. D ) ) = ( x e. C , y e. D |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   X. cxp 4609   |` cres 4613   {coprab 5854   e. cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-res 4623  df-oprab 5857  df-mpo 5858

This theorem is referenced by:  ofmres  6115  divfnzn  9580  txss12  13060  txbasval  13061  cnmpt2res  13091