Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfnzn Unicode version

Theorem divfnzn 9365
 Description: Division restricted to is a function. Given excluded middle, it would be easy to prove this for . The key difference is that an element of is apart from zero, whereas being an element of implies being not equal to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
divfnzn

Proof of Theorem divfnzn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 9013 . . . . . . 7
21ad2antrr 477 . . . . . 6
3 nncn 8688 . . . . . . 7
43ad2antlr 478 . . . . . 6
5 simpr 109 . . . . . 6
6 nnap0 8709 . . . . . . 7 #
76ad2antlr 478 . . . . . 6 #
82, 4, 5, 7divmulapd 8535 . . . . 5
98riotabidva 5712 . . . 4
10 eqcom 2117 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6
1211riotabidv 5698 . . . . 5
13 simpl 108 . . . . . . . . 9
143adantl 273 . . . . . . . . 9
156adantl 273 . . . . . . . . 9 #
1613, 14, 15divclapd 8513 . . . . . . . 8
17 reueq 2854 . . . . . . . 8
1816, 17sylib 121 . . . . . . 7
19 riotacl 5710 . . . . . . 7
2018, 19syl 14 . . . . . 6
211, 20sylan 279 . . . . 5
2212, 21eqeltrrd 2193 . . . 4
239, 22eqeltrrd 2193 . . 3
2423rgen2 2493 . 2
25 df-div 8396 . . . . 5
2625reseq1i 4783 . . . 4
27 zsscn 9016 . . . . 5
28 nncn 8688 . . . . . . 7
29 nnne0 8708 . . . . . . 7
30 eldifsn 3618 . . . . . . 7
3128, 29, 30sylanbrc 411 . . . . . 6
3231ssriv 3069 . . . . 5
33 resmpo 5835 . . . . 5
3427, 32, 33mp2an 420 . . . 4
3526, 34eqtri 2136 . . 3
3635fnmpo 6066 . 2
3724, 36ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wb 104   wceq 1314   wcel 1463   wne 2283  wral 2391  wreu 2393   cdif 3036   wss 3039  csn 3495   class class class wbr 3897   cxp 4505   cres 4509   wfn 5086  crio 5695  (class class class)co 5740   cmpo 5742  cc 7582  cc0 7584   cmul 7589   # cap 8306   cdiv 8395  cn 8680  cz 9008 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-z 9009 This theorem is referenced by:  elq  9366  qnnen  11850
 Copyright terms: Public domain W3C validator