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Theorem txbasval 14151
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( R  tX  S
) )

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables  x  y  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . . . 4  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txbasex 14141 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e. 
_V )
3 bastg 13945 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  R  C_  ( topGen `  R )
)
4 bastg 13945 . . . . . 6  |-  ( S  e.  W  ->  S  C_  ( topGen `  S )
)
5 resmpo 5989 . . . . . 6  |-  ( ( R  C_  ( topGen `  R )  /\  S  C_  ( topGen `  S )
)  ->  ( (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S ) )  =  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) )
7 resss 4946 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S
) )  C_  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )
86, 7eqsstrrdi 3223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  C_  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) ) )
9 rnss 4872 . . . 4  |-  ( ( u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) 
C_  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ran  ( u  e.  (
topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
11 eltg3 13941 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  (
u  e.  ( topGen `  R )  <->  E. m
( m  C_  R  /\  u  =  U. m ) ) )
12 eltg3 13941 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  W  ->  (
v  e.  ( topGen `  S )  <->  E. n
( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) )
1311, 12bi2anan9 606 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R )  /\  v  e.  ( topGen `
 S ) )  <-> 
( E. m ( m  C_  R  /\  u  =  U. m
)  /\  E. n
( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) ) )
14 exdistrv 1922 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m E. n ( ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  (
n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  <->  ( E. m ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  E. n ( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) )
15 an4 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  (
n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  <->  ( (
m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n ) ) )
16 uniiun 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. m  =  U_ x  e.  m  x
17 uniiun 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. n  =  U_ y  e.  n  y
1816, 17xpeq12i 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. m  X.  U. n )  =  ( U_ x  e.  m  x  X.  U_ y  e.  n  y )
19 xpiundir 4700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ x  e.  m  x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ x  e.  m  (
x  X.  U_ y  e.  n  y )
20 xpiundi 4699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  X.  U_ y  e.  n  y )  = 
U_ y  e.  n  ( x  X.  y
)
2120a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  m  ->  (
x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ y  e.  n  ( x  X.  y
) )
2221iuneq2i 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  m  ( x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  (
x  X.  y )
2318, 19, 223eqtri 2214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. m  X.  U. n )  =  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )
24 txvalex 14138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  e.  _V )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  _V )
2624ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  ( R  tX  S )  e.  _V )
27 ssel2 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  C_  R  /\  x  e.  m )  ->  x  e.  R )
28 ssel2 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  C_  S  /\  y  e.  n )  ->  y  e.  S )
2927, 28anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  x  e.  m
)  /\  ( n  C_  S  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  e.  R  /\  y  e.  S
) )
3029an4s 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  e.  R  /\  y  e.  S
) )
31 txopn 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3230, 31sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( (
m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n
) ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3332anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3433anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  /\  y  e.  n )  ->  (
x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
3534ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  A. y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
36 tgiun 13957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  _V  /\  A. y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y
)  e.  ( topGen `  ( R  tX  S
) ) )
3726, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  (
topGen `  ( R  tX  S ) ) )
38 tgidm 13958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
392, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
401txval 14139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
4140fveq2d 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) ) )
4239, 41, 403eqtr4d 2232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  ( topGen `  ( R  tX  S
) )  =  ( R  tX  S ) )
4537, 44eleqtrd 2268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
4645ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  A. x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
47 tgiun 13957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  _V  /\  A. x  e.  m  U_ y  e.  n  (
x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( topGen `  ( R  tX  S ) ) )
4825, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( topGen `  ( R  tX  S ) ) )
4948, 43eleqtrd 2268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
5023, 49eqeltrid 2276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( U. m  X.  U. n )  e.  ( R  tX  S ) )
51 xpeq12 4660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n )  ->  (
u  X.  v )  =  ( U. m  X.  U. n ) )
5251eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n )  ->  (
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S )  <->  ( U. m  X.  U. n )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5350, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( ( u  = 
U. m  /\  v  =  U. n )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5453expimpd 363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( m 
C_  R  /\  n  C_  S )  /\  (
u  =  U. m  /\  v  =  U. n ) )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5515, 54biimtrid 152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( m 
C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  ( n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  ->  (
u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5655exlimdvv 1909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( E. m E. n ( ( m 
C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  ( n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  ->  (
u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5714, 56biimtrrid 153 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( E. m
( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  E. n ( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5813, 57sylbid 150 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R )  /\  v  e.  ( topGen `
 S ) )  ->  ( u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5958ralrimivv 2571 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  A. u  e.  (
topGen `  R ) A. v  e.  ( topGen `  S ) ( u  X.  v )  e.  ( R  tX  S
) )
60 eqid 2189 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( topGen `  R
) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v
) )  =  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )
6160fmpo 6220 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  R ) A. v  e.  ( topGen `  S )
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S )  <->  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) : ( (
topGen `  R )  X.  ( topGen `  S )
) --> ( R  tX  S ) )
6259, 61sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( u  e.  (
topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) : ( ( topGen `  R )  X.  ( topGen `
 S ) ) --> ( R  tX  S
) )
6362frnd 5390 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( R  tX  S ) )
6463, 40sseqtrd 3208 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
65 2basgeng 13966 . . 3  |-  ( ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e. 
_V  /\  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) 
C_  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  /\  ran  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
662, 10, 64, 65syl3anc 1249 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
67 tgvalex 12734 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( topGen `
 R )  e. 
_V )
68 tgvalex 12734 . . 3  |-  ( S  e.  W  ->  ( topGen `
 S )  e. 
_V )
69 eqid 2189 . . . 4  |-  ran  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )
7069txval 14139 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  R )  e.  _V  /\  ( topGen `  S )  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  R )  tX  ( topGen `
 S ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
7167, 68, 70syl2an 289 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( topGen `  R
) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v
) ) ) )
7266, 40, 713eqtr4rd 2233 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   U.cuni 3824   U_ciun 3901    X. cxp 4639   ran crn 4642    |` cres 4643   -->wf 5227   ` cfv 5231  (class class class)co 5891    e. cmpo 5893   topGenctg 12725    tX ctx 14136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-topgen 12731  df-tx 14137
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