Theorem txbasval 12278

Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
txbasval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Proof of Theorem txbasval

Dummy variables x y m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2115	. . . 4 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txbasex 12268	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V )
3		bastg 12073	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R C_ ( topGen ` R ) )
4		bastg 12073	. . . . . 6 |- ( S e. W -> S C_ ( topGen ` S ) )
5		resmpo 5823	. . . . . 6 |- ( ( R C_ ( topGen ` R ) /\ S C_ ( topGen ` S ) ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 285	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
7		resss 4801	. . . . 5 |- ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
8	6, 7	syl6eqssr 3116	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
9		rnss 4729	. . . 4 |- ( ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
11		eltg3 12069	. . . . . . . . 9 |- ( R e. V -> ( u e. ( topGen ` R ) <-> E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) ) )
12		eltg3 12069	. . . . . . . . 9 |- ( S e. W -> ( v e. ( topGen ` S ) <-> E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
13	11, 12	bi2anan9 578	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) ) )
14		exdistrv 1862	. . . . . . . . 9 |- ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
15		an4 558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) )
16		uniiun 3832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. m = U_ x e. m x
17		uniiun 3832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. n = U_ y e. n y
18	16, 17	xpeq12i 4521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. m X. U. n ) = ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y )
19		xpiundir 4558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y )
20		xpiundi 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. m -> ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y ) )
22	21	iuneq2i 3797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
23	18, 19, 22	3eqtri 2139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. m X. U. n ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
24		txvalex 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )
25	24	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( R tX S ) e. _V )
26	24	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( R tX S ) e. _V )
27		ssel2 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m C_ R /\ x e. m ) -> x e. R )
28		ssel2 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n C_ S /\ y e. n ) -> y e. S )
29	27, 28	anim12i 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( m C_ R /\ x e. m ) /\ ( n C_ S /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
30	29	an4s 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
31		txopn 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
32	30, 31	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
33	32	anassrs 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
34	33	anassrs 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) /\ y e. n ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
35	34	ralrimiva 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
36		tgiun 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
37	26, 35, 36	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
38		tgidm 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
39	2, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
40	1	txval 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
41	40	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) )
42	39, 41, 40	3eqtr4d 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
43	42	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
44	43	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
45	37, 44	eleqtrd 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
46	45	ralrimiva 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
47		tgiun 12085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
48	25, 46, 47	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
49	48, 43	eleqtrd 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
50	23, 49	syl5eqel 2201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) )
51		xpeq12 4518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) = ( U. m X. U. n ) )
52	51	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) ) )
53	50, 52	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
54	53	expimpd 358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
55	15, 54	syl5bi 151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
56	55	exlimdvv 1851	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
57	14, 56	syl5bir 152	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
58	13, 57	sylbid 149	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
59	58	ralrimivv 2487	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) )
60		eqid 2115	. . . . . . 7 |- ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
61	60	fmpo 6053	. . . . . 6 |- ( A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
62	59, 61	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
63	62	frnd 5240	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( R tX S ) )
64	63, 40	sseqtrd 3101	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
65		2basgeng 12094	. . 3 |- ( ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V /\ ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) /\ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
66	2, 10, 64, 65	syl3anc 1199	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
67		tgvalex 12062	. . 3 |- ( R e. V -> ( topGen ` R ) e. _V )
68		tgvalex 12062	. . 3 |- ( S e. W -> ( topGen ` S ) e. _V )
69		eqid 2115	. . . 4 |- ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
70	69	txval 12266	. . 3 |- ( ( ( topGen ` R ) e. _V /\ ( topGen ` S ) e. _V ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
71	67, 68, 70	syl2an 285	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
72	66, 40, 71	3eqtr4rd 2158	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   A.wral 2390   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   U.cuni 3702   U_ciun 3779   X. cxp 4497   ran crn 4500   |` cres 4501   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   e. cmpo 5730   topGenctg 11978   tX ctx 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-topgen 11984  df-tx 12264

This theorem is referenced by: (None)