Theorem txbasval 12907

Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
txbasval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Proof of Theorem txbasval

Dummy variables x y m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . . 4 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txbasex 12897	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V )
3		bastg 12701	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R C_ ( topGen ` R ) )
4		bastg 12701	. . . . . 6 |- ( S e. W -> S C_ ( topGen ` S ) )
5		resmpo 5940	. . . . . 6 |- ( ( R C_ ( topGen ` R ) /\ S C_ ( topGen ` S ) ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
7		resss 4908	. . . . 5 |- ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
8	6, 7	eqsstrrdi 3195	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
9		rnss 4834	. . . 4 |- ( ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
11		eltg3 12697	. . . . . . . . 9 |- ( R e. V -> ( u e. ( topGen ` R ) <-> E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) ) )
12		eltg3 12697	. . . . . . . . 9 |- ( S e. W -> ( v e. ( topGen ` S ) <-> E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
13	11, 12	bi2anan9 596	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) ) )
14		exdistrv 1898	. . . . . . . . 9 |- ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
15		an4 576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) )
16		uniiun 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. m = U_ x e. m x
17		uniiun 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. n = U_ y e. n y
18	16, 17	xpeq12i 4626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. m X. U. n ) = ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y )
19		xpiundir 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y )
20		xpiundi 4662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. m -> ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y ) )
22	21	iuneq2i 3884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
23	18, 19, 22	3eqtri 2190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. m X. U. n ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
24		txvalex 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( R tX S ) e. _V )
26	24	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( R tX S ) e. _V )
27		ssel2 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m C_ R /\ x e. m ) -> x e. R )
28		ssel2 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n C_ S /\ y e. n ) -> y e. S )
29	27, 28	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( m C_ R /\ x e. m ) /\ ( n C_ S /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
30	29	an4s 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
31		txopn 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
32	30, 31	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
33	32	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
34	33	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) /\ y e. n ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
35	34	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
36		tgiun 12713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
37	26, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
38		tgidm 12714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
39	2, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
40	1	txval 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
41	40	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) )
42	39, 41, 40	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
43	42	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
45	37, 44	eleqtrd 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
46	45	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
47		tgiun 12713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
48	25, 46, 47	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
49	48, 43	eleqtrd 2245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
50	23, 49	eqeltrid 2253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) )
51		xpeq12 4623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) = ( U. m X. U. n ) )
52	51	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) ) )
53	50, 52	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
54	53	expimpd 361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
55	15, 54	syl5bi 151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
56	55	exlimdvv 1885	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
57	14, 56	syl5bir 152	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
58	13, 57	sylbid 149	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
59	58	ralrimivv 2547	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) )
60		eqid 2165	. . . . . . 7 |- ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
61	60	fmpo 6169	. . . . . 6 |- ( A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
62	59, 61	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
63	62	frnd 5347	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( R tX S ) )
64	63, 40	sseqtrd 3180	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
65		2basgeng 12722	. . 3 |- ( ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V /\ ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) /\ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
66	2, 10, 64, 65	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
67		tgvalex 12690	. . 3 |- ( R e. V -> ( topGen ` R ) e. _V )
68		tgvalex 12690	. . 3 |- ( S e. W -> ( topGen ` S ) e. _V )
69		eqid 2165	. . . 4 |- ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
70	69	txval 12895	. . 3 |- ( ( ( topGen ` R ) e. _V /\ ( topGen ` S ) e. _V ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
71	67, 68, 70	syl2an 287	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
72	66, 40, 71	3eqtr4rd 2209	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   U.cuni 3789   U_ciun 3866   X. cxp 4602   ran crn 4605   |` cres 4606   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   topGenctg 12571   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-topgen 12577  df-tx 12893

This theorem is referenced by: (None)