Theorem txbasval 15078

Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
txbasval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Proof of Theorem txbasval

Dummy variables x y m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txbasex 15068	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V )
3		bastg 14872	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R C_ ( topGen ` R ) )
4		bastg 14872	. . . . . 6 |- ( S e. W -> S C_ ( topGen ` S ) )
5		resmpo 6129	. . . . . 6 |- ( ( R C_ ( topGen ` R ) /\ S C_ ( topGen ` S ) ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) = ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
7		resss 5043	. . . . 5 |- ( ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) |` ( R X. S ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
8	6, 7	eqsstrrdi 3281	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
9		rnss 4968	. . . 4 |- ( ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) )
11		eltg3 14868	. . . . . . . . 9 |- ( R e. V -> ( u e. ( topGen ` R ) <-> E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) ) )
12		eltg3 14868	. . . . . . . . 9 |- ( S e. W -> ( v e. ( topGen ` S ) <-> E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
13	11, 12	bi2anan9 610	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) ) )
14		exdistrv 1959	. . . . . . . . 9 |- ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) )
15		an4 588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) <-> ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) )
16		uniiun 4029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. m = U_ x e. m x
17		uniiun 4029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. n = U_ y e. n y
18	16, 17	xpeq12i 4753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. m X. U. n ) = ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y )
19		xpiundir 4791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. m x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y )
20		xpiundi 4790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. m -> ( x X. U_ y e. n y ) = U_ y e. n ( x X. y ) )
22	21	iuneq2i 3993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. m ( x X. U_ y e. n y ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
23	18, 19, 22	3eqtri 2256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. m X. U. n ) = U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y )
24		txvalex 15065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) e. _V )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( R tX S ) e. _V )
26	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( R tX S ) e. _V )
27		ssel2 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m C_ R /\ x e. m ) -> x e. R )
28		ssel2 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n C_ S /\ y e. n ) -> y e. S )
29	27, 28	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( m C_ R /\ x e. m ) /\ ( n C_ S /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
30	29	an4s 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x e. R /\ y e. S ) )
31		txopn 15076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
32	30, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
33	32	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ ( x e. m /\ y e. n ) ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
34	33	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) /\ y e. n ) -> ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
35	34	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
36		tgiun 14884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
37	26, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
38		tgidm 14885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
39	2, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
40	1	txval 15066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
41	40	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( topGen ` ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) )
42	39, 41, 40	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> ( topGen ` ( R tX S ) ) = ( R tX S ) )
45	37, 44	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) /\ x e. m ) -> U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
46	45	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
47		tgiun 14884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R tX S ) e. _V /\ A. x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
48	25, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( topGen ` ( R tX S ) ) )
49	48, 43	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> U_ x e. m U_ y e. n ( x X. y ) e. ( R tX S ) )
50	23, 49	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) )
51		xpeq12 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) = ( U. m X. U. n ) )
52	51	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( U. m X. U. n ) e. ( R tX S ) ) )
53	50, 52	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( m C_ R /\ n C_ S ) ) -> ( ( u = U. m /\ v = U. n ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ n C_ S ) /\ ( u = U. m /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
55	15, 54	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
56	55	exlimdvv 1946	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( E. m E. n ( ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
57	14, 56	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( E. m ( m C_ R /\ u = U. m ) /\ E. n ( n C_ S /\ v = U. n ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
58	13, 57	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( u e. ( topGen ` R ) /\ v e. ( topGen ` S ) ) -> ( u X. v ) e. ( R tX S ) ) )
59	58	ralrimivv 2614	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) )
60		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
61	60	fmpo 6375	. . . . . 6 |- ( A. u e. ( topGen ` R ) A. v e. ( topGen ` S ) ( u X. v ) e. ( R tX S ) <-> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
62	59, 61	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) : ( ( topGen ` R ) X. ( topGen ` S ) ) --> ( R tX S ) )
63	62	frnd 5499	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( R tX S ) )
64	63, 40	sseqtrd 3266	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
65		2basgeng 14893	. . 3 |- ( ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V /\ ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) C_ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) /\ ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) C_ ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
66	2, 10, 64, 65	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
67		tgvalex 13426	. . 3 |- ( R e. V -> ( topGen ` R ) e. _V )
68		tgvalex 13426	. . 3 |- ( S e. W -> ( topGen ` S ) e. _V )
69		eqid 2231	. . . 4 |- ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) )
70	69	txval 15066	. . 3 |- ( ( ( topGen ` R ) e. _V /\ ( topGen ` S ) e. _V ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
71	67, 68, 70	syl2an 289	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( topGen ` R ) , v e. ( topGen ` S ) |-> ( u X. v ) ) ) )
72	66, 40, 71	3eqtr4rd 2275	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( ( topGen ` R ) tX ( topGen ` S ) ) = ( R tX S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   U.cuni 3898   U_ciun 3975   X. cxp 4729   ran crn 4732   |` cres 4733   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   topGenctg 13417   tX ctx 15063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-topgen 13423  df-tx 15064

This theorem is referenced by: (None)