Theorem funoprabg 6160

Description: "At most one" is a sufficient condition for an operation class abstraction to be a function. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funoprabg	|- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem funoprabg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mosubopt 4820	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ph -> E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	alrimiv 1923	. 2 |- ( A. x A. y E* z ph -> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		dfoprab2 6108	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4	3	funeqi 5378	. . 3 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } )
5		funopab 5392	. . 3 |- ( Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. 2 |- ( A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
7	2, 6	sylib 122	1 |- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   E*wmo 2083   <.cop 3697   {copab 4175   Fun wfun 5351   {coprab 6059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-fun 5359  df-oprab 6062

This theorem is referenced by:  funoprab  6161  fnoprabg  6162  oprabexd  6333