Theorem funoprabg 6017

Description: "At most one" is a sufficient condition for an operation class abstraction to be a function. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funoprabg	|- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem funoprabg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mosubopt 4724	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ph -> E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	alrimiv 1885	. 2 |- ( A. x A. y E* z ph -> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		dfoprab2 5965	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4	3	funeqi 5275	. . 3 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } )
5		funopab 5289	. . 3 |- ( Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. 2 |- ( A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
7	2, 6	sylib 122	1 |- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   E*wmo 2043   <.cop 3621   {copab 4089   Fun wfun 5248   {coprab 5919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-fun 5256  df-oprab 5922

This theorem is referenced by:  funoprab  6018  fnoprabg  6019  oprabexd  6179