Theorem funoprabg 6130

Description: "At most one" is a sufficient condition for an operation class abstraction to be a function. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funoprabg	|- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem funoprabg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mosubopt 4797	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ph -> E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	alrimiv 1922	. 2 |- ( A. x A. y E* z ph -> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		dfoprab2 6078	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4	3	funeqi 5354	. . 3 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } )
5		funopab 5368	. . 3 |- ( Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. 2 |- ( A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
7	2, 6	sylib 122	1 |- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   E*wmo 2080   <.cop 3676   {copab 4154   Fun wfun 5327   {coprab 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-fun 5335  df-oprab 6032

This theorem is referenced by:  funoprab  6131  fnoprabg  6132  oprabexd  6298