ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funoprabg Unicode version

Theorem funoprabg 5782
Description: "At most one" is a sufficient condition for an operation class abstraction to be a function. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
funoprabg  |-  ( A. x A. y E* z ph  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem funoprabg
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mosubopt 4532 . . 3  |-  ( A. x A. y E* z ph  ->  E* z E. x E. y ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
21alrimiv 1809 . 2  |-  ( A. x A. y E* z ph  ->  A. w E* z E. x E. y ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3 dfoprab2 5734 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }
43funeqi 5070 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  Fun  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) } )
5 funopab 5083 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. w ,  z
>.  |  E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  <->  A. w E* z E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
64, 5bitr2i 184 . 2  |-  ( A. w E* z E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  Fun  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } )
72, 6sylib 121 1  |-  ( A. x A. y E* z ph  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1294    = wceq 1296   E.wex 1433   E*wmo 1956   <.cop 3469   {copab 3920   Fun wfun 5043   {coprab 5691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-fun 5051  df-oprab 5694
This theorem is referenced by:  funoprab  5783  fnoprabg  5784  oprabexd  5936
  Copyright terms: Public domain W3C validator