Theorem funoprabg 6115

Description: "At most one" is a sufficient condition for an operation class abstraction to be a function. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funoprabg	|- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem funoprabg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mosubopt 4789	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ph -> E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	alrimiv 1920	. 2 |- ( A. x A. y E* z ph -> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		dfoprab2 6063	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4	3	funeqi 5345	. . 3 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } )
5		funopab 5359	. . 3 |- ( Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. 2 |- ( A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
7	2, 6	sylib 122	1 |- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E*wmo 2078   <.cop 3670   {copab 4147   Fun wfun 5318   {coprab 6014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-fun 5326  df-oprab 6017

This theorem is referenced by:  funoprab  6116  fnoprabg  6117  oprabexd  6284