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Theorem reu3 2847
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
reu3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu3
StepHypRef Expression
1 reurex 2621 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. x  e.  A  ph )
2 reu6 2846 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
3 bi1 117 . . . . . 6  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
43ralimi 2472 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
54reximi 2506 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
62, 5sylbi 120 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
71, 6jca 304 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
8 rexex 2456 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
98anim2i 339 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  -> 
( E. x  e.  A  ph  /\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
10 nfv 1493 . . . . 5  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
1110eu3 2023 . . . 4  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
12 df-reu 2400 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
13 df-rex 2399 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
14 df-ral 2398 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
15 impexp 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1615albii 1431 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1714, 16bitr4i 186 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1817exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1913, 18anbi12i 455 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
2011, 12, 193bitr4i 211 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
219, 20sylibr 133 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
227, 21impbii 125 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1314   E.wex 1453    e. wcel 1465   E!weu 1977   A.wral 2393   E.wrex 2394   E!wreu 2395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401
This theorem is referenced by:  reu7  2852  bdreu  12980
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