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Theorem reu3 2920
Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
reu3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem reu3
StepHypRef Expression
1 reurex 2683 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. x  e.  A  ph )
2 reu6 2919 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y ) )
3 biimp 117 . . . . . 6  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
43ralimi 2533 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
54reximi 2567 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph 
<->  x  =  y )  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
62, 5sylbi 120 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
71, 6jca 304 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
8 rexex 2516 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )
98anim2i 340 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  -> 
( E. x  e.  A  ph  /\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
10 nfv 1521 . . . . 5  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
1110eu3 2065 . . . 4  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
12 df-reu 2455 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
13 df-rex 2454 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
14 df-ral 2453 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
15 impexp 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1615albii 1463 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1714, 16bitr4i 186 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1817exbii 1598 . . . . 5  |-  ( E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y )  <->  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) )
1913, 18anbi12i 457 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  /\  E. y A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  x  =  y ) ) )
2011, 12, 193bitr4i 211 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
219, 20sylibr 133 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
227, 21impbii 125 1  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  A  A. x  e.  A  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346   E.wex 1485   E!weu 2019    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456
This theorem is referenced by:  reu7  2925  bdreu  13890
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