Theorem reu3 2962

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu3	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 2723	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. x e. A ph )
2		reu6 2961	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
3		biimp 118	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
4	3	ralimi 2568	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> A. x e. A ( ph -> x = y ) )
5	4	reximi 2602	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
6	2, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
7	1, 6	jca 306	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
8		rexex 2551	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) -> E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) )
9	8	anim2i 342	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
10		nfv 1550	. . . . 5 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
11	10	eu3 2099	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
12		df-reu 2490	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
13		df-rex 2489	. . . . 5 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
14		df-ral 2488	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
15		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
16	15	albii 1492	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
17	14, 16	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
18	17	exbii 1627	. . . . 5 |- ( E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
19	13, 18	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
20	11, 12, 19	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
21	9, 20	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> E! x e. A ph )
22	7, 21	impbii 126	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1370   E.wex 1514   E!weu 2053   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   E!wreu 2485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491

This theorem is referenced by:  reu7  2967  bdreu  15655