Theorem reu3 2993

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu3	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 2750	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. x e. A ph )
2		reu6 2992	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
3		biimp 118	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
4	3	ralimi 2593	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> A. x e. A ( ph -> x = y ) )
5	4	reximi 2627	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
6	2, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
7	1, 6	jca 306	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
8		rexex 2576	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) -> E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) )
9	8	anim2i 342	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
10		nfv 1574	. . . . 5 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
11	10	eu3 2124	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
12		df-reu 2515	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
13		df-rex 2514	. . . . 5 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
14		df-ral 2513	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
15		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
16	15	albii 1516	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
17	14, 16	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
18	17	exbii 1651	. . . . 5 |- ( E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
19	13, 18	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
20	11, 12, 19	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
21	9, 20	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> E! x e. A ph )
22	7, 21	impbii 126	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   E.wex 1538   E!weu 2077   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516

This theorem is referenced by:  reu7  2998  bdreu  16176