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Theorem ennnfonelemrnh 12371
Description: Lemma for ennnfone 12380. A consequence of ennnfonelemss 12365. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfonelemrnh.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  H
)
ennnfonelemrnh.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  H
)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemrnh  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    j, F, k, n    x, F, y   
j, G    x, H, y    j, J    x, N, y    x, X, y    x, Y, y    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    G( x, y, k, n)    H( j,
k, n)    J( x, y, k, n)    N( j,
k, n)    X( j,
k, n)    Y( j,
k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemh 12359 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
98ffund 5351 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  H )
10 ennnfonelemrnh.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  H
)
11 elrnrexdm 5635 . . . 4  |-  ( Fun 
H  ->  ( X  e.  ran  H  ->  E. s  e.  dom  H  X  =  ( H `  s
) ) )
129, 10, 11sylc 62 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e.  dom  H  X  =  ( H `
 s ) )
138fdmd 5354 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  H  =  NN0 )
1413rexeqdv 2672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
dom  H  X  =  ( H `  s )  <->  E. s  e.  NN0  X  =  ( H `  s ) ) )
1512, 14mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN0  X  =  ( H `  s ) )
16 ennnfonelemrnh.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  H
)
17 elrnrexdm 5635 . . . . . 6  |-  ( Fun 
H  ->  ( Y  e.  ran  H  ->  E. t  e.  dom  H  Y  =  ( H `  t
) ) )
189, 16, 17sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  dom  H  Y  =  ( H `
 t ) )
1913rexeqdv 2672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
dom  H  Y  =  ( H `  t )  <->  E. t  e.  NN0  Y  =  ( H `  t ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. t  e.  NN0  Y  =  ( H `  t ) )
2120adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s
) ) )  ->  E. t  e.  NN0  Y  =  ( H `  t ) )
22 simplrl 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
2322nn0zd 9332 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
24 simprl 526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  t  e.  NN0 )
2524nn0zd 9332 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
26 zletric 9256 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( s  <_  t  \/  t  <_  s ) )
2723, 25, 26syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
s  <_  t  \/  t  <_  s ) )
281ad3antrrr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
292ad3antrrr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  ->  F : om -onto-> A )
303ad3antrrr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
3122adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
s  e.  NN0 )
32 simplrl 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
t  e.  NN0 )
33 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
s  <_  t )
3428, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33ennnfoneleminc 12366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
( H `  s
)  C_  ( H `  t ) )
3534ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
s  <_  t  ->  ( H `  s ) 
C_  ( H `  t ) ) )
361ad3antrrr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
372ad3antrrr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  ->  F : om -onto-> A )
383ad3antrrr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
39 simplrl 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
t  e.  NN0 )
4022adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
s  e.  NN0 )
41 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
t  <_  s )
4236, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41ennnfoneleminc 12366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
( H `  t
)  C_  ( H `  s ) )
4342ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
t  <_  s  ->  ( H `  t ) 
C_  ( H `  s ) ) )
4435, 43orim12d 781 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
( s  <_  t  \/  t  <_  s )  ->  ( ( H `
 s )  C_  ( H `  t )  \/  ( H `  t )  C_  ( H `  s )
) ) )
4527, 44mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
( H `  s
)  C_  ( H `  t )  \/  ( H `  t )  C_  ( H `  s
) ) )
46 simplrr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  X  =  ( H `  s ) )
47 simprr 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  Y  =  ( H `  t ) )
4846, 47sseq12d 3178 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  ( X  C_  Y  <->  ( H `  s )  C_  ( H `  t )
) )
4947, 46sseq12d 3178 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  ( Y  C_  X  <->  ( H `  t )  C_  ( H `  s )
) )
5048, 49orbi12d 788 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
( X  C_  Y  \/  Y  C_  X )  <-> 
( ( H `  s )  C_  ( H `  t )  \/  ( H `  t
)  C_  ( H `  s ) ) ) )
5145, 50mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  ( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
5221, 51rexlimddv 2592 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s
) ) )  -> 
( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
5315, 52rexlimddv 2592 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612   "cima 4614   Fun wfun 5192   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    e. cmpo 5855  freccfrec 6369    ^pm cpm 6627   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    <_ cle 7955    - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212    seqcseq 10401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pm 6629  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402
This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12372  ennnfonelemf1  12373
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