Theorem ennnfonelemrnh 12576

Description: Lemma for ennnfone 12585. A consequence of ennnfonelemss 12570. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemrnh.x	|- ( ph -> X e. ran H )
ennnfonelemrnh.y	|- ( ph -> Y e. ran H )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemrnh	|- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   x, X, y   x, Y, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)   X( j, k, n)   Y( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12564	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	ffund 5408	. . . 4 |- ( ph -> Fun H )
10		ennnfonelemrnh.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ran H )
11		elrnrexdm 5698	. . . 4 |- ( Fun H -> ( X e. ran H -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) ) )
12	9, 10, 11	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) )
13	8	fdmd 5411	. . . 4 |- ( ph -> dom H = NN0 )
14	13	rexeqdv 2697	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. dom H X = ( H ` s ) <-> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) ) )
15	12, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) )
16		ennnfonelemrnh.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ran H )
17		elrnrexdm 5698	. . . . . 6 |- ( Fun H -> ( Y e. ran H -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) ) )
18	9, 16, 17	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) )
19	13	rexeqdv 2697	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. t e. dom H Y = ( H ` t ) <-> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
22		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. NN0 )
23	22	nn0zd 9440	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. ZZ )
24		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. NN0 )
25	24	nn0zd 9440	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. ZZ )
26		zletric 9364	. . . . . 6 |- ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
28	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> F : om -onto-> A )
30	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s e. NN0 )
32		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> t e. NN0 )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s <_ t )
34	28, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33	ennnfoneleminc 12571	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) )
35	34	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
36	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
37	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> F : om -onto-> A )
38	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
39		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t e. NN0 )
40	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> s e. NN0 )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t <_ s )
42	36, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41	ennnfoneleminc 12571	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) )
43	42	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( t <_ s -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
44	35, 43	orim12d 787	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( s <_ t \/ t <_ s ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
45	27, 44	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
46		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> X = ( H ` s ) )
47		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> Y = ( H ` t ) )
48	46, 47	sseq12d 3211	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y <-> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
49	47, 46	sseq12d 3211	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( Y C_ X <-> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
50	48, 49	orbi12d 794	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( X C_ Y \/ Y C_ X ) <-> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
52	21, 51	rexlimddv 2616	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
53	15, 52	rexlimddv 2616	1 |- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3152   C_ wss 3154   (/)c0 3447   ifcif 3558   {csn 3619   <.cop 3622   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   suc csuc 4397   omcom 4623   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   ran crn 4661   "cima 4663   Fun wfun 5249   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921  freccfrec 6445   ^pm cpm 6705   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   <_ cle 8057   - cmin 8192   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   seqcseq 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pm 6707  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12577  ennnfonelemf1  12578