Theorem ennnfonelemrnh 12902

Description: Lemma for ennnfone 12911. A consequence of ennnfonelemss 12896. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemrnh.x	|- ( ph -> X e. ran H )
ennnfonelemrnh.y	|- ( ph -> Y e. ran H )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemrnh	|- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   x, X, y   x, Y, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)   X( j, k, n)   Y( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12890	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	ffund 5449	. . . 4 |- ( ph -> Fun H )
10		ennnfonelemrnh.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ran H )
11		elrnrexdm 5742	. . . 4 |- ( Fun H -> ( X e. ran H -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) ) )
12	9, 10, 11	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) )
13	8	fdmd 5452	. . . 4 |- ( ph -> dom H = NN0 )
14	13	rexeqdv 2712	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. dom H X = ( H ` s ) <-> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) ) )
15	12, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) )
16		ennnfonelemrnh.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ran H )
17		elrnrexdm 5742	. . . . . 6 |- ( Fun H -> ( Y e. ran H -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) ) )
18	9, 16, 17	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) )
19	13	rexeqdv 2712	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. t e. dom H Y = ( H ` t ) <-> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
22		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. NN0 )
23	22	nn0zd 9528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. ZZ )
24		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. NN0 )
25	24	nn0zd 9528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. ZZ )
26		zletric 9451	. . . . . 6 |- ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
28	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> F : om -onto-> A )
30	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s e. NN0 )
32		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> t e. NN0 )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s <_ t )
34	28, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33	ennnfoneleminc 12897	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) )
35	34	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
36	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
37	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> F : om -onto-> A )
38	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
39		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t e. NN0 )
40	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> s e. NN0 )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t <_ s )
42	36, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41	ennnfoneleminc 12897	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) )
43	42	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( t <_ s -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
44	35, 43	orim12d 788	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( s <_ t \/ t <_ s ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
45	27, 44	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
46		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> X = ( H ` s ) )
47		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> Y = ( H ` t ) )
48	46, 47	sseq12d 3232	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y <-> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
49	47, 46	sseq12d 3232	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( Y C_ X <-> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
50	48, 49	orbi12d 795	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( X C_ Y \/ Y C_ X ) <-> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
52	21, 51	rexlimddv 2630	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
53	15, 52	rexlimddv 2630	1 |- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   E.wrex 2487   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   ifcif 3579   {csn 3643   <.cop 3646   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   suc csuc 4430   omcom 4656   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   ran crn 4694   "cima 4696   Fun wfun 5284   -onto->wfo 5288   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  freccfrec 6499   ^pm cpm 6759   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   <_ cle 8143   - cmin 8278   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pm 6761  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12903  ennnfonelemf1  12904