Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemrnh Unicode version

Theorem ennnfonelemrnh 11936
 Description: Lemma for ennnfone 11945. A consequence of ennnfonelemss 11930. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq DECID
ennnfonelemh.f
ennnfonelemh.ne
ennnfonelemh.g
ennnfonelemh.n frec
ennnfonelemh.j
ennnfonelemh.h
ennnfonelemrnh.x
ennnfonelemrnh.y
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemrnh
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6 DECID
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6 frec
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemh 11924 . . . . 5
98ffund 5276 . . . 4
10 ennnfonelemrnh.x . . . 4
11 elrnrexdm 5559 . . . 4
129, 10, 11sylc 62 . . 3
138fdmd 5279 . . . 4
1413rexeqdv 2633 . . 3
1512, 14mpbid 146 . 2
16 ennnfonelemrnh.y . . . . . 6
17 elrnrexdm 5559 . . . . . 6
189, 16, 17sylc 62 . . . . 5
1913rexeqdv 2633 . . . . 5
2018, 19mpbid 146 . . . 4
2120adantr 274 . . 3
22 simplrl 524 . . . . . . 7
2322nn0zd 9178 . . . . . 6
24 simprl 520 . . . . . . 7
2524nn0zd 9178 . . . . . 6
26 zletric 9105 . . . . . 6
2723, 25, 26syl2anc 408 . . . . 5
281ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 DECID
292ad3antrrr 483 . . . . . . . 8
303ad3antrrr 483 . . . . . . . 8
3122adantr 274 . . . . . . . 8
32 simplrl 524 . . . . . . . 8
33 simpr 109 . . . . . . . 8
3428, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33ennnfoneleminc 11931 . . . . . . 7
3534ex 114 . . . . . 6
361ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 DECID
372ad3antrrr 483 . . . . . . . 8
383ad3antrrr 483 . . . . . . . 8
39 simplrl 524 . . . . . . . 8
4022adantr 274 . . . . . . . 8
41 simpr 109 . . . . . . . 8
4236, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41ennnfoneleminc 11931 . . . . . . 7
4342ex 114 . . . . . 6
4435, 43orim12d 775 . . . . 5
4527, 44mpd 13 . . . 4
46 simplrr 525 . . . . . 6
47 simprr 521 . . . . . 6
4846, 47sseq12d 3128 . . . . 5
4947, 46sseq12d 3128 . . . . 5
5048, 49orbi12d 782 . . . 4
5145, 50mpbird 166 . . 3
5221, 51rexlimddv 2554 . 2
5315, 52rexlimddv 2554 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 697  DECID wdc 819   wceq 1331   wcel 1480   wne 2308  wral 2416  wrex 2417   cun 3069   wss 3071  c0 3363  cif 3474  csn 3527  cop 3530   class class class wbr 3929   cmpt 3989   csuc 4287  com 4504  ccnv 4538   cdm 4539   crn 4540  cima 4542   wfun 5117  wfo 5121  cfv 5123  (class class class)co 5774   cmpo 5776  freccfrec 6287   cpm 6543  cc0 7627  c1 7628   caddc 7630   cle 7808   cmin 7940  cn0 8984  cz 9061   cseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  11937  ennnfonelemf1  11938
 Copyright terms: Public domain W3C validator