Theorem ennnfonelemrnh 13036

Description: Lemma for ennnfone 13045. A consequence of ennnfonelemss 13030. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemrnh.x	|- ( ph -> X e. ran H )
ennnfonelemrnh.y	|- ( ph -> Y e. ran H )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemrnh	|- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   x, X, y   x, Y, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)   X( j, k, n)   Y( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 13024	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	ffund 5486	. . . 4 |- ( ph -> Fun H )
10		ennnfonelemrnh.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ran H )
11		elrnrexdm 5786	. . . 4 |- ( Fun H -> ( X e. ran H -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) ) )
12	9, 10, 11	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) )
13	8	fdmd 5489	. . . 4 |- ( ph -> dom H = NN0 )
14	13	rexeqdv 2737	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. dom H X = ( H ` s ) <-> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) ) )
15	12, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) )
16		ennnfonelemrnh.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ran H )
17		elrnrexdm 5786	. . . . . 6 |- ( Fun H -> ( Y e. ran H -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) ) )
18	9, 16, 17	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) )
19	13	rexeqdv 2737	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. t e. dom H Y = ( H ` t ) <-> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
22		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. NN0 )
23	22	nn0zd 9599	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. ZZ )
24		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. NN0 )
25	24	nn0zd 9599	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. ZZ )
26		zletric 9522	. . . . . 6 |- ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
28	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> F : om -onto-> A )
30	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s e. NN0 )
32		simplrl 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> t e. NN0 )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s <_ t )
34	28, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33	ennnfoneleminc 13031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) )
35	34	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
36	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
37	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> F : om -onto-> A )
38	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
39		simplrl 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t e. NN0 )
40	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> s e. NN0 )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t <_ s )
42	36, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41	ennnfoneleminc 13031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) )
43	42	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( t <_ s -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
44	35, 43	orim12d 793	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( s <_ t \/ t <_ s ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
45	27, 44	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
46		simplrr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> X = ( H ` s ) )
47		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> Y = ( H ` t ) )
48	46, 47	sseq12d 3258	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y <-> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
49	47, 46	sseq12d 3258	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( Y C_ X <-> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
50	48, 49	orbi12d 800	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( X C_ Y \/ Y C_ X ) <-> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
52	21, 51	rexlimddv 2655	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
53	15, 52	rexlimddv 2655	1 |- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   ran crn 4726   "cima 4728   Fun wfun 5320   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019  freccfrec 6555   ^pm cpm 6817   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   <_ cle 8214   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pm 6819  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  13037  ennnfonelemf1  13038