Theorem ennnfonelemrnh 12409

Description: Lemma for ennnfone 12418. A consequence of ennnfonelemss 12403. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemrnh.x	|- ( ph -> X e. ran H )
ennnfonelemrnh.y	|- ( ph -> Y e. ran H )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemrnh	|- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   x, X, y   x, Y, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)   X( j, k, n)   Y( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12397	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	ffund 5368	. . . 4 |- ( ph -> Fun H )
10		ennnfonelemrnh.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ran H )
11		elrnrexdm 5654	. . . 4 |- ( Fun H -> ( X e. ran H -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) ) )
12	9, 10, 11	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) )
13	8	fdmd 5371	. . . 4 |- ( ph -> dom H = NN0 )
14	13	rexeqdv 2679	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. dom H X = ( H ` s ) <-> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) ) )
15	12, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) )
16		ennnfonelemrnh.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ran H )
17		elrnrexdm 5654	. . . . . 6 |- ( Fun H -> ( Y e. ran H -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) ) )
18	9, 16, 17	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) )
19	13	rexeqdv 2679	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. t e. dom H Y = ( H ` t ) <-> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
22		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. NN0 )
23	22	nn0zd 9369	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. ZZ )
24		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. NN0 )
25	24	nn0zd 9369	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. ZZ )
26		zletric 9293	. . . . . 6 |- ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
28	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> F : om -onto-> A )
30	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s e. NN0 )
32		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> t e. NN0 )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s <_ t )
34	28, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33	ennnfoneleminc 12404	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) )
35	34	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
36	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
37	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> F : om -onto-> A )
38	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
39		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t e. NN0 )
40	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> s e. NN0 )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t <_ s )
42	36, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41	ennnfoneleminc 12404	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) )
43	42	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( t <_ s -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
44	35, 43	orim12d 786	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( s <_ t \/ t <_ s ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
45	27, 44	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
46		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> X = ( H ` s ) )
47		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> Y = ( H ` t ) )
48	46, 47	sseq12d 3186	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y <-> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
49	47, 46	sseq12d 3186	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( Y C_ X <-> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
50	48, 49	orbi12d 793	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( X C_ Y \/ Y C_ X ) <-> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
52	21, 51	rexlimddv 2599	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
53	15, 52	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3592   <.cop 3595   class class class wbr 4002   |-> cmpt 4063   suc csuc 4364   omcom 4588   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   ran crn 4626   "cima 4628   Fun wfun 5209   -onto->wfo 5213   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   e. cmpo 5874  freccfrec 6388   ^pm cpm 6646   0cc0 7808   1c1 7809   + caddc 7811   <_ cle 7989   - cmin 8124   NN0cn0 9172   ZZcz 9249   seqcseq 10440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pm 6648  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12410  ennnfonelemf1  12411