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Theorem ennnfonelemrnh 11936
Description: Lemma for ennnfone 11945. A consequence of ennnfonelemss 11930. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfonelemrnh.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  H
)
ennnfonelemrnh.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  H
)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemrnh  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    j, F, k, n    x, F, y   
j, G    x, H, y    j, J    x, N, y    x, X, y    x, Y, y    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    G( x, y, k, n)    H( j,
k, n)    J( x, y, k, n)    N( j,
k, n)    X( j,
k, n)    Y( j,
k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemh 11924 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
98ffund 5276 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  H )
10 ennnfonelemrnh.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  H
)
11 elrnrexdm 5559 . . . 4  |-  ( Fun 
H  ->  ( X  e.  ran  H  ->  E. s  e.  dom  H  X  =  ( H `  s
) ) )
129, 10, 11sylc 62 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e.  dom  H  X  =  ( H `
 s ) )
138fdmd 5279 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  H  =  NN0 )
1413rexeqdv 2633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
dom  H  X  =  ( H `  s )  <->  E. s  e.  NN0  X  =  ( H `  s ) ) )
1512, 14mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN0  X  =  ( H `  s ) )
16 ennnfonelemrnh.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  H
)
17 elrnrexdm 5559 . . . . . 6  |-  ( Fun 
H  ->  ( Y  e.  ran  H  ->  E. t  e.  dom  H  Y  =  ( H `  t
) ) )
189, 16, 17sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  dom  H  Y  =  ( H `
 t ) )
1913rexeqdv 2633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
dom  H  Y  =  ( H `  t )  <->  E. t  e.  NN0  Y  =  ( H `  t ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. t  e.  NN0  Y  =  ( H `  t ) )
2120adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s
) ) )  ->  E. t  e.  NN0  Y  =  ( H `  t ) )
22 simplrl 524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
2322nn0zd 9178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
24 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  t  e.  NN0 )
2524nn0zd 9178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
26 zletric 9105 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( s  <_  t  \/  t  <_  s ) )
2723, 25, 26syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
s  <_  t  \/  t  <_  s ) )
281ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
292ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  ->  F : om -onto-> A )
303ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
3122adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
s  e.  NN0 )
32 simplrl 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
t  e.  NN0 )
33 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
s  <_  t )
3428, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33ennnfoneleminc 11931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  s  <_  t )  -> 
( H `  s
)  C_  ( H `  t ) )
3534ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
s  <_  t  ->  ( H `  s ) 
C_  ( H `  t ) ) )
361ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
372ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  ->  F : om -onto-> A )
383ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
39 simplrl 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
t  e.  NN0 )
4022adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
s  e.  NN0 )
41 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
t  <_  s )
4236, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41ennnfoneleminc 11931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `
 s ) ) )  /\  ( t  e.  NN0  /\  Y  =  ( H `  t
) ) )  /\  t  <_  s )  -> 
( H `  t
)  C_  ( H `  s ) )
4342ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
t  <_  s  ->  ( H `  t ) 
C_  ( H `  s ) ) )
4435, 43orim12d 775 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
( s  <_  t  \/  t  <_  s )  ->  ( ( H `
 s )  C_  ( H `  t )  \/  ( H `  t )  C_  ( H `  s )
) ) )
4527, 44mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
( H `  s
)  C_  ( H `  t )  \/  ( H `  t )  C_  ( H `  s
) ) )
46 simplrr 525 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  X  =  ( H `  s ) )
47 simprr 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  Y  =  ( H `  t ) )
4846, 47sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  ( X  C_  Y  <->  ( H `  s )  C_  ( H `  t )
) )
4947, 46sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  ( Y  C_  X  <->  ( H `  t )  C_  ( H `  s )
) )
5048, 49orbi12d 782 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  (
( X  C_  Y  \/  Y  C_  X )  <-> 
( ( H `  s )  C_  ( H `  t )  \/  ( H `  t
)  C_  ( H `  s ) ) ) )
5145, 50mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s ) ) )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  Y  =  ( H `  t ) ) )  ->  ( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
5221, 51rexlimddv 2554 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  X  =  ( H `  s
) ) )  -> 
( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
5315, 52rexlimddv 2554 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  \/  Y  C_  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417    u. cun 3069    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540   "cima 4542   Fun wfun 5117   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776  freccfrec 6287    ^pm cpm 6543   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    <_ cle 7808    - cmin 7940   NN0cn0 8984   ZZcz 9061    seqcseq 10225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226
This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  11937  ennnfonelemf1  11938
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