Theorem ennnfonelemrnh 12573

Description: Lemma for ennnfone 12582. A consequence of ennnfonelemss 12567. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemrnh.x	|- ( ph -> X e. ran H )
ennnfonelemrnh.y	|- ( ph -> Y e. ran H )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemrnh	|- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   x, X, y   x, Y, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)   X( j, k, n)   Y( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12561	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	ffund 5407	. . . 4 |- ( ph -> Fun H )
10		ennnfonelemrnh.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ran H )
11		elrnrexdm 5697	. . . 4 |- ( Fun H -> ( X e. ran H -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) ) )
12	9, 10, 11	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. s e. dom H X = ( H ` s ) )
13	8	fdmd 5410	. . . 4 |- ( ph -> dom H = NN0 )
14	13	rexeqdv 2697	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. dom H X = ( H ` s ) <-> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) ) )
15	12, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN0 X = ( H ` s ) )
16		ennnfonelemrnh.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ran H )
17		elrnrexdm 5697	. . . . . 6 |- ( Fun H -> ( Y e. ran H -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) ) )
18	9, 16, 17	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. t e. dom H Y = ( H ` t ) )
19	13	rexeqdv 2697	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. t e. dom H Y = ( H ` t ) <-> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> E. t e. NN0 Y = ( H ` t ) )
22		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. NN0 )
23	22	nn0zd 9437	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> s e. ZZ )
24		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. NN0 )
25	24	nn0zd 9437	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> t e. ZZ )
26		zletric 9361	. . . . . 6 |- ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t \/ t <_ s ) )
28	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> F : om -onto-> A )
30	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s e. NN0 )
32		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> t e. NN0 )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> s <_ t )
34	28, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33	ennnfoneleminc 12568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ s <_ t ) -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) )
35	34	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( s <_ t -> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
36	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
37	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> F : om -onto-> A )
38	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
39		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t e. NN0 )
40	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> s e. NN0 )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> t <_ s )
42	36, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41	ennnfoneleminc 12568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) /\ t <_ s ) -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) )
43	42	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( t <_ s -> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
44	35, 43	orim12d 787	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( s <_ t \/ t <_ s ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
45	27, 44	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
46		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> X = ( H ` s ) )
47		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> Y = ( H ` t ) )
48	46, 47	sseq12d 3210	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y <-> ( H ` s ) C_ ( H ` t ) ) )
49	47, 46	sseq12d 3210	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( Y C_ X <-> ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) )
50	48, 49	orbi12d 794	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( ( X C_ Y \/ Y C_ X ) <-> ( ( H ` s ) C_ ( H ` t ) \/ ( H ` t ) C_ ( H ` s ) ) ) )
51	45, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) /\ ( t e. NN0 /\ Y = ( H ` t ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
52	21, 51	rexlimddv 2616	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. NN0 /\ X = ( H ` s ) ) ) -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )
53	15, 52	rexlimddv 2616	1 |- ( ph -> ( X C_ Y \/ Y C_ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   ran crn 4660   "cima 4662   Fun wfun 5248   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12574  ennnfonelemf1  12575