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Theorem nninfwlpoimlemginf 7173
Description: Lemma for nninfwlpoim 7175. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f  |-  ( ph  ->  F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g  |-  G  =  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemginf  |-  ( ph  ->  ( G  =  ( i  e.  om  |->  1o )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o ) )
Distinct variable groups:    i, F, n, x    n, G, x    ph, i, x, n
Allowed substitution hint:    G( i)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf
StepHypRef Expression
1 nninfwlpoimlemg.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e. 
suc  i ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
2 suceq 4402 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  suc  i  =  suc  n )
32rexeqdv 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  suc  n ( F `  x )  =  (/) ) )
43ifbid 3555 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  if ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  if ( E. x  e.  suc  n ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
5 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
6 0lt2o 6441 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
76a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
8 1lt2o 6442 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
98a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
10 peano2 4594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
1110adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  suc  n  e.  om )
12 nnfi 6871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  n  e.  om  ->  suc  n  e.  Fin )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  suc  n  e.  Fin )
14 2ssom 6524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  C_  om
15 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : om --> 2o )
1615ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  F : om --> 2o )
17 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  x  e.  suc  n )
1811adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  suc  n  e.  om )
19 elnn 4605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  suc  n  /\  suc  n  e.  om )  ->  x  e.  om )
2017, 18, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  x  e.  om )
2116, 20ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  ( F `  x )  e.  2o )
2214, 21sselid 3153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  ( F `  x )  e.  om )
23 peano1 4593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  om
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  ->  (/)  e.  om )
25 nndceq 6499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  -> DECID  ( F `  x
)  =  (/) )
2622, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  x  e.  suc  n )  -> DECID  ( F `  x
)  =  (/) )
2726ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  A. x  e.  suc  nDECID  ( F `  x )  =  (/) )
28 finexdc 6901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  n  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  suc  nDECID  ( F `  x )  =  (/) )  -> DECID  E. x  e.  suc  n ( F `  x )  =  (/) )
2913, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  -> DECID  E. x  e.  suc  n ( F `  x )  =  (/) )
307, 9, 29ifcldcd 3570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  n
( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
311, 4, 5, 30fvmptd3 5609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  ( G `  n )  =  if ( E. x  e. 
suc  n ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
3231adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( G `  n )  =  if ( E. x  e. 
suc  n ( F `
 x )  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )
33 vex 2740 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
3433sucid 4417 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
suc  n
3534a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  n  e.  suc  n )
36 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( F `  n )  =  (/) )
37 fveqeq2 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  x
)  =  (/)  <->  ( F `  n )  =  (/) ) )
3837rspcev 2841 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  suc  n  /\  ( F `  n
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  suc  n ( F `  x )  =  (/) )
3935, 36, 38syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  E. x  e.  suc  n ( F `  x )  =  (/) )
4039iftrued 3541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  if ( E. x  e.  suc  n
( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  (/) )
4132, 40eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( G `  n )  =  (/) )
42 1n0 6432 . . . . . . 7  |-  1o  =/=  (/)
4342neii 2349 . . . . . 6  |-  -.  1o  =  (/)
44 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )
4544fveq1d 5517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( G `  n )  =  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `  n ) )
46 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  om  |->  1o )  =  ( i  e. 
om  |->  1o )
47 eqidd 2178 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  1o  =  1o )
485adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  n  e.  om )
498a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  1o  e.  2o )
5046, 47, 48, 49fvmptd3 5609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( ( i  e.  om  |->  1o ) `
 n )  =  1o )
5145, 50eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( G `  n )  =  1o )
5251eqeq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( ( G `
 n )  =  (/) 
<->  1o  =  (/) ) )
5343, 52mtbiri 675 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  -.  ( G `  n )  =  (/) )
5441, 53pm2.65da 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
5515adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  ->  F : om --> 2o )
5655ffvelcdmda 5651 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  ( F `  n )  e.  2o )
57 elpri 3615 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( F `
 n )  =  (/)  \/  ( F `  n )  =  1o ) )
58 df2o3 6430 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
5957, 58eleq2s 2272 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  2o  ->  (
( F `  n
)  =  (/)  \/  ( F `  n )  =  1o ) )
6056, 59syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  ( ( F `
 n )  =  (/)  \/  ( F `  n )  =  1o ) )
6160orcomd 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  ( ( F `
 n )  =  1o  \/  ( F `
 n )  =  (/) ) )
6254, 61ecased 1349 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  G  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )  /\  n  e.  om )  ->  ( F `  n )  =  1o )
6362ralrimiva 2550 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )
64 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  n )  =  1o  ->  (
( F `  n
)  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
6543, 64mtbiri 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  n )  =  1o  ->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
6665ralimi 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o  ->  A. n  e.  om  -.  ( F `
 n )  =  (/) )
67 ralnex 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  -.  ( F `  n )  =  (/)  <->  -.  E. n  e.  om  ( F `  n )  =  (/) )
6866, 67sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o  ->  -.  E. n  e.  om  ( F `  n )  =  (/) )
69 fveqeq2 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  x  ->  (
( F `  n
)  =  (/)  <->  ( F `  x )  =  (/) ) )
7069cbvrexv 2704 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  om  ( F `  n )  =  (/)  <->  E. x  e.  om  ( F `  x )  =  (/) )
7168, 70sylnib 676 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o  ->  -.  E. x  e.  om  ( F `  x )  =  (/) )
7271ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  /\  i  e.  om )  ->  -.  E. x  e.  om  ( F `  x )  =  (/) )
73 peano2 4594 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
7473adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  /\  i  e.  om )  ->  suc  i  e.  om )
75 elomssom 4604 . . . . . . 7  |-  ( suc  i  e.  om  ->  suc  i  C_  om )
76 ssrexv 3220 . . . . . . 7  |-  ( suc  i  C_  om  ->  ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  om  ( F `  x )  =  (/) ) )
7774, 75, 763syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  /\  i  e.  om )  ->  ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  om  ( F `  x )  =  (/) ) )
7872, 77mtod 663 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  /\  i  e.  om )  ->  -.  E. x  e.  suc  i
( F `  x
)  =  (/) )
7978iffalsed 3544 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  /\  i  e.  om )  ->  if ( E. x  e.  suc  i ( F `  x )  =  (/) ,  (/) ,  1o )  =  1o )
8079mpteq2dva 4093 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  ->  ( i  e.  om  |->  if ( E. x  e.  suc  i
( F `  x
)  =  (/) ,  (/) ,  1o ) )  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )
811, 80eqtrid 2222 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o )  ->  G  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )
8263, 81impbida 596 1  |-  ( ph  ->  ( G  =  ( i  e.  om  |->  1o )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )  =  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {cpr 3593    |-> cmpt 4064   suc csuc 4365   omcom 4589   -->wf 5212   ` cfv 5216   1oc1o 6409   2oc2o 6410   Fincfn 6739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7174
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