Theorem nninfwlpoimlemginf 7176

Description: Lemma for nninfwlpoim 7178. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemginf	|- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   n, G, x   ph, i, x, n

Allowed substitution hint:   G( i)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfwlpoimlemg.g	. . . . . . . 8 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
2		suceq 4404	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> suc i = suc n )
3	2	rexeqdv 2680	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) ) )
4	3	ifbid 3557	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
6		0lt2o 6444	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> (/) e. 2o )
8		1lt2o 6445	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> 1o e. 2o )
10		peano2 4596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> suc n e. om )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> suc n e. om )
12		nnfi 6874	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc n e. om -> suc n e. Fin )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> suc n e. Fin )
14		2ssom 6527	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o C_ om
15		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : om --> 2o )
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> F : om --> 2o )
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> x e. suc n )
18	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> suc n e. om )
19		elnn 4607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. suc n /\ suc n e. om ) -> x e. om )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> x e. om )
21	16, 20	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> ( F ` x ) e. 2o )
22	14, 21	sselid 3155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> ( F ` x ) e. om )
23		peano1 4595	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. om
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> (/) e. om )
25		nndceq 6502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
27	26	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> A. x e. suc nDECID ( F ` x ) = (/) )
28		finexdc 6904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc n e. Fin /\ A. x e. suc nDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
29	13, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> DECID E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
30	7, 9, 29	ifcldcd 3572	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
31	1, 4, 5, 30	fvmptd3 5611	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( G ` n ) = if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
33		vex 2742	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
34	33	sucid 4419	. . . . . . . . 9 |- n e. suc n
35	34	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. suc n )
36		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( F ` n ) = (/) )
37		fveqeq2 5526	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( ( F ` x ) = (/) <-> ( F ` n ) = (/) ) )
38	37	rspcev 2843	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. suc n /\ ( F ` n ) = (/) ) -> E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
39	35, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
40	39	iftrued 3543	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = (/) )
41	32, 40	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = (/) )
42		1n0 6435	. . . . . . 7 |- 1o =/= (/)
43	42	neii 2349	. . . . . 6 |- -. 1o = (/)
44		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> G = ( i e. om |-> 1o ) )
45	44	fveq1d 5519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` n ) )
46		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
47		eqidd 2178	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> 1o = 1o )
48	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. om )
49	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> 1o e. 2o )
50	46, 47, 48, 49	fvmptd3 5611	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` n ) = 1o )
51	45, 50	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = 1o )
52	51	eqeq1d 2186	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( ( G ` n ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
53	43, 52	mtbiri 675	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> -. ( G ` n ) = (/) )
54	41, 53	pm2.65da 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
55	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) -> F : om --> 2o )
56	55	ffvelcdmda 5653	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( F ` n ) e. 2o )
57		elpri 3617	. . . . . . 7 |- ( ( F ` n ) e. { (/) , 1o } -> ( ( F ` n ) = (/) \/ ( F ` n ) = 1o ) )
58		df2o3 6433	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
59	57, 58	eleq2s 2272	. . . . . 6 |- ( ( F ` n ) e. 2o -> ( ( F ` n ) = (/) \/ ( F ` n ) = 1o ) )
60	56, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) = (/) \/ ( F ` n ) = 1o ) )
61	60	orcomd 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) = 1o \/ ( F ` n ) = (/) ) )
62	54, 61	ecased 1349	. . 3 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( F ` n ) = 1o )
63	62	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) -> A. n e. om ( F ` n ) = 1o )
64		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` n ) = 1o -> ( ( F ` n ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
65	43, 64	mtbiri 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) = 1o -> -. ( F ` n ) = (/) )
66	65	ralimi 2540	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om ( F ` n ) = 1o -> A. n e. om -. ( F ` n ) = (/) )
67		ralnex 2465	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om -. ( F ` n ) = (/) <-> -. E. n e. om ( F ` n ) = (/) )
68	66, 67	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om ( F ` n ) = 1o -> -. E. n e. om ( F ` n ) = (/) )
69		fveqeq2 5526	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> ( ( F ` n ) = (/) <-> ( F ` x ) = (/) ) )
70	69	cbvrexv 2706	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. om ( F ` n ) = (/) <-> E. x e. om ( F ` x ) = (/) )
71	68, 70	sylnib 676	. . . . . . 7 |- ( A. n e. om ( F ` n ) = 1o -> -. E. x e. om ( F ` x ) = (/) )
72	71	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> -. E. x e. om ( F ` x ) = (/) )
73		peano2 4596	. . . . . . . 8 |- ( i e. om -> suc i e. om )
74	73	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> suc i e. om )
75		elomssom 4606	. . . . . . 7 |- ( suc i e. om -> suc i C_ om )
76		ssrexv 3222	. . . . . . 7 |- ( suc i C_ om -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) -> E. x e. om ( F ` x ) = (/) ) )
77	74, 75, 76	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) -> E. x e. om ( F ` x ) = (/) ) )
78	72, 77	mtod 663	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> -. E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
79	78	iffalsed 3546	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = 1o )
80	79	mpteq2dva 4095	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) -> ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) = ( i e. om |-> 1o ) )
81	1, 80	eqtrid 2222	. 2 |- ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) -> G = ( i e. om |-> 1o ) )
82	63, 81	impbida 596	1 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ifcif 3536   {cpr 3595   |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   -->wf 5214   ` cfv 5218   1oc1o 6412   2oc2o 6413   Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7177