Theorem nninfwlpoimlemginf 7209

Description: Lemma for nninfwlpoim 7211. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemginf	|- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   n, G, x   ph, i, x, n

Allowed substitution hint:   G( i)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfwlpoimlemg.g	. . . . . . . 8 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
2		suceq 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> suc i = suc n )
3	2	rexeqdv 2693	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) <-> E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) ) )
4	3	ifbid 3570	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
6		0lt2o 6470	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> (/) e. 2o )
8		1lt2o 6471	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> 1o e. 2o )
10		peano2 4615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> suc n e. om )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> suc n e. om )
12		nnfi 6904	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc n e. om -> suc n e. Fin )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> suc n e. Fin )
14		2ssom 6553	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o C_ om
15		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : om --> 2o )
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> F : om --> 2o )
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> x e. suc n )
18	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> suc n e. om )
19		elnn 4626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. suc n /\ suc n e. om ) -> x e. om )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> x e. om )
21	16, 20	ffvelcdmd 5676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> ( F ` x ) e. 2o )
22	14, 21	sselid 3168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> ( F ` x ) e. om )
23		peano1 4614	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. om
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> (/) e. om )
25		nndceq 6528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ x e. suc n ) -> DECID ( F ` x ) = (/) )
27	26	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> A. x e. suc nDECID ( F ` x ) = (/) )
28		finexdc 6934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc n e. Fin /\ A. x e. suc nDECID ( F ` x ) = (/) ) -> DECID E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
29	13, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> DECID E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
30	7, 9, 29	ifcldcd 3585	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) e. 2o )
31	1, 4, 5, 30	fvmptd3 5633	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( G ` n ) = if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
33		vex 2755	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
34	33	sucid 4438	. . . . . . . . 9 |- n e. suc n
35	34	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. suc n )
36		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( F ` n ) = (/) )
37		fveqeq2 5546	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( ( F ` x ) = (/) <-> ( F ` n ) = (/) ) )
38	37	rspcev 2856	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. suc n /\ ( F ` n ) = (/) ) -> E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
39	35, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) )
40	39	iftrued 3556	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> if ( E. x e. suc n ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = (/) )
41	32, 40	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = (/) )
42		1n0 6461	. . . . . . 7 |- 1o =/= (/)
43	42	neii 2362	. . . . . 6 |- -. 1o = (/)
44		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> G = ( i e. om |-> 1o ) )
45	44	fveq1d 5539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` n ) )
46		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
47		eqidd 2190	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> 1o = 1o )
48	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. om )
49	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> 1o e. 2o )
50	46, 47, 48, 49	fvmptd3 5633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` n ) = 1o )
51	45, 50	eqtrd 2222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( G ` n ) = 1o )
52	51	eqeq1d 2198	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( ( G ` n ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
53	43, 52	mtbiri 676	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> -. ( G ` n ) = (/) )
54	41, 53	pm2.65da 662	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
55	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) -> F : om --> 2o )
56	55	ffvelcdmda 5675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( F ` n ) e. 2o )
57		elpri 3633	. . . . . . 7 |- ( ( F ` n ) e. { (/) , 1o } -> ( ( F ` n ) = (/) \/ ( F ` n ) = 1o ) )
58		df2o3 6459	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
59	57, 58	eleq2s 2284	. . . . . 6 |- ( ( F ` n ) e. 2o -> ( ( F ` n ) = (/) \/ ( F ` n ) = 1o ) )
60	56, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) = (/) \/ ( F ` n ) = 1o ) )
61	60	orcomd 730	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) = 1o \/ ( F ` n ) = (/) ) )
62	54, 61	ecased 1360	. . 3 |- ( ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) /\ n e. om ) -> ( F ` n ) = 1o )
63	62	ralrimiva 2563	. 2 |- ( ( ph /\ G = ( i e. om |-> 1o ) ) -> A. n e. om ( F ` n ) = 1o )
64		eqeq1 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` n ) = 1o -> ( ( F ` n ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
65	43, 64	mtbiri 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) = 1o -> -. ( F ` n ) = (/) )
66	65	ralimi 2553	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om ( F ` n ) = 1o -> A. n e. om -. ( F ` n ) = (/) )
67		ralnex 2478	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om -. ( F ` n ) = (/) <-> -. E. n e. om ( F ` n ) = (/) )
68	66, 67	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om ( F ` n ) = 1o -> -. E. n e. om ( F ` n ) = (/) )
69		fveqeq2 5546	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> ( ( F ` n ) = (/) <-> ( F ` x ) = (/) ) )
70	69	cbvrexv 2719	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. om ( F ` n ) = (/) <-> E. x e. om ( F ` x ) = (/) )
71	68, 70	sylnib 677	. . . . . . 7 |- ( A. n e. om ( F ` n ) = 1o -> -. E. x e. om ( F ` x ) = (/) )
72	71	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> -. E. x e. om ( F ` x ) = (/) )
73		peano2 4615	. . . . . . . 8 |- ( i e. om -> suc i e. om )
74	73	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> suc i e. om )
75		elomssom 4625	. . . . . . 7 |- ( suc i e. om -> suc i C_ om )
76		ssrexv 3235	. . . . . . 7 |- ( suc i C_ om -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) -> E. x e. om ( F ` x ) = (/) ) )
77	74, 75, 76	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) -> E. x e. om ( F ` x ) = (/) ) )
78	72, 77	mtod 664	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> -. E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) )
79	78	iffalsed 3559	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) /\ i e. om ) -> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) = 1o )
80	79	mpteq2dva 4111	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) -> ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) ) = ( i e. om |-> 1o ) )
81	1, 80	eqtrid 2234	. 2 |- ( ( ph /\ A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) -> G = ( i e. om |-> 1o ) )
82	63, 81	impbida 596	1 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   {cpr 3611   |-> cmpt 4082   suc csuc 4386   omcom 4610   -->wf 5234   ` cfv 5238   1oc1o 6438   2oc2o 6439   Fincfn 6770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-1o 6445  df-2o 6446  df-er 6563  df-en 6771  df-fin 6773

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7210