Theorem infssuzex 10323

Description: Existence of the infimum of a subset of an upper set of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
infssuzledc.s	|- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
infssuzledc.a	|- ( ph -> A e. S )
infssuzledc.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
infssuzex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   A, n   n, M   x, S, y, z   ph, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, z, n)   A( x, z)   S( n)   M( x, y, z)

Proof of Theorem infssuzex

Dummy variables j m a w b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 9333	. . . 4 |- ZZ C_ RR
2		infssuzledc.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. S )
3		infssuzledc.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
4	3	eleq2i 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. S <-> A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } )
5	2, 4	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } )
6		elrabi 2917	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
8		eluzelz 9610	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> A e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
10	9	znegcld 9450	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A e. ZZ )
11		negeq 8219	. . . . . . 7 |- ( m = -u A -> -u m = -u -u A )
12	11	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( m = -u A -> ( -u m e. S <-> -u -u A e. S ) )
13	9	zcnd 9449	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
14	13	negnegd 8328	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u -u A = A )
15	14, 2	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ph -> -u -u A e. S )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> M <_ -u m )
17	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> A e. ZZ )
18	17	zred 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> A e. RR )
19		eluzelz 9610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` -u A ) -> m e. ZZ )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> m e. ZZ )
21	20	zred 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> m e. RR )
22		eluzle 9613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` -u A ) -> -u A <_ m )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> -u A <_ m )
24	18, 21, 23	lenegcon1d 8554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> -u m <_ A )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m <_ A )
26	16, 25	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( M <_ -u m /\ -u m <_ A ) )
27	20	znegcld 9450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> -u m e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m e. ZZ )
29		infssuzledc.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> M e. ZZ )
31	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> A e. ZZ )
32		elfz 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u m e. ZZ /\ M e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( -u m e. ( M ... A ) <-> ( M <_ -u m /\ -u m <_ A ) ) )
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( -u m e. ( M ... A ) <-> ( M <_ -u m /\ -u m <_ A ) ) )
34	26, 33	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m e. ( M ... A ) )
35		infssuzledc.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )
36	35	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. ( M ... A )DECID ps )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> A. n e. ( M ... A )DECID ps )
38		nfsbc1v 3008	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n [. -u m / n ]. ps
39	38	nfdc 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ nDECID [. -u m / n ]. ps
40		sbceq1a 2999	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = -u m -> ( ps <-> [. -u m / n ]. ps ) )
41	40	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 |- ( n = -u m -> (DECID ps <-> DECID [. -u m / n ]. ps ) )
42	39, 41	rspc 2862	. . . . . . . . 9 |- ( -u m e. ( M ... A ) -> ( A. n e. ( M ... A )DECID ps -> DECID [. -u m / n ]. ps ) )
43	34, 37, 42	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> DECID [. -u m / n ]. ps )
44	3	eleq2i 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( -u m e. S <-> -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } )
45		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ZZ>= ` M )
46	45	elrabsf 3028	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } <-> ( -u m e. ( ZZ>= ` M ) /\ [. -u m / n ]. ps ) )
47		elfzuz 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u m e. ( M ... A ) -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
48	34, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
49	48	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( [. -u m / n ]. ps <-> ( -u m e. ( ZZ>= ` M ) /\ [. -u m / n ]. ps ) ) )
50	46, 49	bitr4id 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } <-> [. -u m / n ]. ps ) )
51	44, 50	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( -u m e. S <-> [. -u m / n ]. ps ) )
52	51	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> (DECID -u m e. S <-> DECID [. -u m / n ]. ps ) )
53	43, 52	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> DECID -u m e. S )
54		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> -. M <_ -u m )
55		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
56		eluzle 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u m e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ -u m )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> M <_ -u m )
58	57, 3	eleq2s 2291	. . . . . . . . . 10 |- ( -u m e. S -> M <_ -u m )
59	54, 58	nsyl 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> -. -u m e. S )
60	59	olcd 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> ( -u m e. S \/ -. -u m e. S ) )
61		df-dc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID -u m e. S <-> ( -u m e. S \/ -. -u m e. S ) )
62	60, 61	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> DECID -u m e. S )
63	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> M e. ZZ )
64		zdcle 9402	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ -u m e. ZZ ) -> DECID M <_ -u m )
65	63, 27, 64	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> DECID M <_ -u m )
66		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID M <_ -u m -> ( M <_ -u m \/ -. M <_ -u m ) )
67	65, 66	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> ( M <_ -u m \/ -. M <_ -u m ) )
68	53, 62, 67	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> DECID -u m e. S )
69		eluzle 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ A )
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ A )
71	29	zred 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
72	9	zred 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
73	71, 72	lenegd 8551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M <_ A <-> -u A <_ -u M ) )
74	70, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u A <_ -u M )
75	29	znegcld 9450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
76		eluz 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) <-> -u A <_ -u M ) )
77	10, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) <-> -u A <_ -u M ) )
78	74, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) )
79		peano2uz 9657	. . . . . . . 8 |- ( -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) -> ( -u M + 1 ) e. ( ZZ>= ` -u A ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u M + 1 ) e. ( ZZ>= ` -u A ) )
81	71	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> M e. RR )
82	81	renegcld 8406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -u M e. RR )
83		peano2re 8162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u M e. RR -> ( -u M + 1 ) e. RR )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M + 1 ) e. RR )
85		eluzelz 9610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -> m e. ZZ )
86	85	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> m e. ZZ )
87	86	zred 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> m e. RR )
88		eluzle 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -> ( -u M + 1 ) <_ m )
89	88	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M + 1 ) <_ m )
90	55, 3	eleq2s 2291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u m e. S -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
91	90	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -u m e. S ) -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
92	91, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -u m e. S ) -> M <_ -u m )
93	92	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> M <_ -u m )
94	81, 87, 93	lenegcon2d 8555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> m <_ -u M )
95	84, 87, 82, 89, 94	letrd 8150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M + 1 ) <_ -u M )
96	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -u M e. ZZ )
97		zltp1le 9380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u M e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( -u M < -u M <-> ( -u M + 1 ) <_ -u M ) )
98	96, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M < -u M <-> ( -u M + 1 ) <_ -u M ) )
99	95, 98	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -u M < -u M )
100	82	ltnrd 8138	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -. -u M < -u M )
101	99, 100	pm2.65da 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) -> -. -u m e. S )
102	101	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -. -u m e. S )
103		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( -u M + 1 ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) )
104	103	raleqdv 2699	. . . . . . . 8 |- ( j = ( -u M + 1 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) -. -u m e. S <-> A. m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -. -u m e. S ) )
105	104	rspcev 2868	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u M + 1 ) e. ( ZZ>= ` -u A ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -. -u m e. S ) -> E. j e. ( ZZ>= ` -u A ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) -. -u m e. S )
106	80, 102, 105	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` -u A ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) -. -u m e. S )
107	10, 12, 15, 68, 106	zsupcllemex 10320	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) ) )
108		zre 9330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
109	108	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) -> ( b e. RR /\ -u b e. S ) )
110		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u b e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> -u b e. ( ZZ>= ` M ) )
111	110, 3	eleq2s 2291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u b e. S -> -u b e. ( ZZ>= ` M ) )
112		eluzelz 9610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u b e. ( ZZ>= ` M ) -> -u b e. ZZ )
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u b e. S -> -u b e. ZZ )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> -u b e. ZZ )
115		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. RR -> b e. CC )
116		znegclb 9359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. CC -> ( b e. ZZ <-> -u b e. ZZ ) )
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. RR -> ( b e. ZZ <-> -u b e. ZZ ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> ( b e. ZZ <-> -u b e. ZZ ) )
119	114, 118	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> b e. ZZ )
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> -u b e. S )
121	119, 120	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) )
122	109, 121	impbii 126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) <-> ( b e. RR /\ -u b e. S ) )
123		negeq 8219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = b -> -u m = -u b )
124	123	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = b -> ( -u m e. S <-> -u b e. S ) )
125	124	elrab 2920	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. { m e. ZZ | -u m e. S } <-> ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) )
126	124	elrab 2920	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. { m e. RR | -u m e. S } <-> ( b e. RR /\ -u b e. S ) )
127	122, 125, 126	3bitr4i 212	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. { m e. ZZ | -u m e. S } <-> b e. { m e. RR | -u m e. S } )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. { m e. ZZ | -u m e. S } <-> b e. { m e. RR | -u m e. S } ) )
129	128	eqrdv 2194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { m e. ZZ | -u m e. S } = { m e. RR | -u m e. S } )
130	129	raleqdv 2699	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y <-> A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y ) )
131	129	rexeqdv 2700	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z <-> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) )
132	131	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) <-> ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
133	132	ralbidv 2497	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
134	130, 133	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) ) <-> ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) ) )
135	134	rexbidv 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) ) <-> E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) ) )
136	107, 135	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
137		ssrexv 3248	. . . 4 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) ) )
138	1, 136, 137	mpsyl 65	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
139		ssrab2 3268	. . . 4 |- { m e. RR | -u m e. S } C_ RR
140	139	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { m e. RR | -u m e. S } C_ RR )
141	138, 140	supinfneg 9669	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) ) )
142		elrabi 2917	. . . . . . 7 |- ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -> a e. RR )
143		elrabi 2917	. . . . . . . . 9 |- ( a e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
144	143, 3	eleq2s 2291	. . . . . . . 8 |- ( a e. S -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
145		eluzelre 9611	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) -> a e. RR )
146	144, 145	syl 14	. . . . . . 7 |- ( a e. S -> a e. RR )
147		negeq 8219	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> -u w = -u a )
148	147	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( w = a -> ( -u w e. { m e. RR | -u m e. S } <-> -u a e. { m e. RR | -u m e. S } ) )
149	148	elrab3 2921	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } <-> -u a e. { m e. RR | -u m e. S } ) )
150		negeq 8219	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = -u a -> -u m = -u -u a )
151	150	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( m = -u a -> ( -u m e. S <-> -u -u a e. S ) )
152	151	elrab 2920	. . . . . . . . 9 |- ( -u a e. { m e. RR | -u m e. S } <-> ( -u a e. RR /\ -u -u a e. S ) )
153		renegcl 8287	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
154	153	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR -> ( -u -u a e. S <-> ( -u a e. RR /\ -u -u a e. S ) ) )
155	152, 154	bitr4id 199	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> ( -u a e. { m e. RR | -u m e. S } <-> -u -u a e. S ) )
156		recn 8012	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. RR -> a e. CC )
157	156	negnegd 8328	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR -> -u -u a = a )
158	157	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> ( -u -u a e. S <-> a e. S ) )
159	149, 155, 158	3bitrd 214	. . . . . . 7 |- ( a e. RR -> ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } <-> a e. S ) )
160	142, 146, 159	pm5.21nii 705	. . . . . 6 |- ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } <-> a e. S )
161	160	eqriv 2193	. . . . 5 |- { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } = S
162	161	raleqi 2697	. . . 4 |- ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x <-> A. y e. S -. y < x )
163	161	rexeqi 2698	. . . . . 6 |- ( E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y <-> E. z e. S z < y )
164	163	imbi2i 226	. . . . 5 |- ( ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. S z < y ) )
165	164	ralbii 2503	. . . 4 |- ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) )
166	162, 165	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) ) <-> ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
167	166	rexbii 2504	. 2 |- ( E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
168	141, 167	sylib 122	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   [.wsbc 2989   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   -ucneg 8198   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  infssuzledc  10324  infssuzcldc  10325  nninfdcex  10327