Theorem nninfwlpoim 7283

Description: Decidable equality for ℕ_∞ implies the Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoim	|- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> om e. WOmni )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpoim

Dummy variables f i j n q z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6759	. . . . 5 |- ( f e. ( 2o ^m om ) -> f : om --> 2o )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> f : om --> 2o )
3		fveqeq2 5587	. . . . . . . 8 |- ( q = z -> ( ( f ` q ) = (/) <-> ( f ` z ) = (/) ) )
4	3	cbvrexv 2739	. . . . . . 7 |- ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) <-> E. z e. suc j ( f ` z ) = (/) )
5		suceq 4450	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> suc j = suc i )
6	5	rexeqdv 2709	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( E. z e. suc j ( f ` z ) = (/) <-> E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) ) )
7	4, 6	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) <-> E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) ) )
8	7	ifbid 3592	. . . . 5 |- ( j = i -> if ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	8	cbvmptv 4141	. . . 4 |- ( j e. om |-> if ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) , (/) , 1o ) ) = ( i e. om |-> if ( E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) , (/) , 1o ) )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
11		equequ1 1735	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
12	11	dcbid 840	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
13		equequ2 1736	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( z = y <-> z = w ) )
14	13	dcbid 840	. . . . . 6 |- ( y = w -> (DECID z = y <-> DECID z = w ) )
15	12, 14	cbvral2v 2751	. . . . 5 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. z e. ℕ∞ A. w e. ℕ∞ DECID z = w )
16	10, 15	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> A. z e. ℕ∞ A. w e. ℕ∞ DECID z = w )
17	2, 9, 16	nninfwlpoimlemdc 7281	. . 3 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
18	17	ralrimiva 2579	. 2 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
19		omex 4642	. . 3 |- om e. _V
20		iswomnimap 7270	. . 3 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
22	18, 21	sylibr 134	1 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> om e. WOmni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   ifcif 3571   |-> cmpt 4106   suc csuc 4413   omcom 4639   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   1oc1o 6497   2oc2o 6498   ^m cmap 6737  ℕ_∞xnninf 7223  WOmnicwomni 7267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1o 6504  df-2o 6505  df-er 6622  df-map 6739  df-en 6830  df-fin 6832  df-nninf 7224  df-womni 7268

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7285