Theorem nninfwlpoim 7346

Description: Decidable equality for ℕ_∞ implies the Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoim	|- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> om e. WOmni )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpoim

Dummy variables f i j n q z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6817	. . . . 5 |- ( f e. ( 2o ^m om ) -> f : om --> 2o )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> f : om --> 2o )
3		fveqeq2 5636	. . . . . . . 8 |- ( q = z -> ( ( f ` q ) = (/) <-> ( f ` z ) = (/) ) )
4	3	cbvrexv 2766	. . . . . . 7 |- ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) <-> E. z e. suc j ( f ` z ) = (/) )
5		suceq 4493	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> suc j = suc i )
6	5	rexeqdv 2735	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( E. z e. suc j ( f ` z ) = (/) <-> E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) ) )
7	4, 6	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) <-> E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) ) )
8	7	ifbid 3624	. . . . 5 |- ( j = i -> if ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	8	cbvmptv 4180	. . . 4 |- ( j e. om |-> if ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) , (/) , 1o ) ) = ( i e. om |-> if ( E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) , (/) , 1o ) )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
11		equequ1 1758	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
12	11	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
13		equequ2 1759	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( z = y <-> z = w ) )
14	13	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( y = w -> (DECID z = y <-> DECID z = w ) )
15	12, 14	cbvral2v 2778	. . . . 5 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. z e. ℕ∞ A. w e. ℕ∞ DECID z = w )
16	10, 15	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> A. z e. ℕ∞ A. w e. ℕ∞ DECID z = w )
17	2, 9, 16	nninfwlpoimlemdc 7344	. . 3 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
18	17	ralrimiva 2603	. 2 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
19		omex 4685	. . 3 |- om e. _V
20		iswomnimap 7333	. . 3 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
22	18, 21	sylibr 134	1 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> om e. WOmni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   ifcif 3602   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1oc1o 6555   2oc2o 6556   ^m cmap 6795  ℕ_∞xnninf 7286  WOmnicwomni 7330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-map 6797  df-en 6888  df-fin 6890  df-nninf 7287  df-womni 7331

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7348