Theorem nninfwlpoim 7154

Description: Decidable equality for ℕ_∞ implies the Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoim	|- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> om e. WOmni )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpoim

Dummy variables f i j n q z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6648	. . . . 5 |- ( f e. ( 2o ^m om ) -> f : om --> 2o )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> f : om --> 2o )
3		fveqeq2 5505	. . . . . . . 8 |- ( q = z -> ( ( f ` q ) = (/) <-> ( f ` z ) = (/) ) )
4	3	cbvrexv 2697	. . . . . . 7 |- ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) <-> E. z e. suc j ( f ` z ) = (/) )
5		suceq 4387	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> suc j = suc i )
6	5	rexeqdv 2672	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( E. z e. suc j ( f ` z ) = (/) <-> E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) ) )
7	4, 6	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) <-> E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) ) )
8	7	ifbid 3547	. . . . 5 |- ( j = i -> if ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) , (/) , 1o ) = if ( E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	8	cbvmptv 4085	. . . 4 |- ( j e. om |-> if ( E. q e. suc j ( f ` q ) = (/) , (/) , 1o ) ) = ( i e. om |-> if ( E. z e. suc i ( f ` z ) = (/) , (/) , 1o ) )
10		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
11		equequ1 1705	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
12	11	dcbid 833	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
13		equequ2 1706	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( z = y <-> z = w ) )
14	13	dcbid 833	. . . . . 6 |- ( y = w -> (DECID z = y <-> DECID z = w ) )
15	12, 14	cbvral2v 2709	. . . . 5 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. z e. ℕ∞ A. w e. ℕ∞ DECID z = w )
16	10, 15	sylib 121	. . . 4 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> A. z e. ℕ∞ A. w e. ℕ∞ DECID z = w )
17	2, 9, 16	nninfwlpoimlemdc 7153	. . 3 |- ( ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y /\ f e. ( 2o ^m om ) ) -> DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
18	17	ralrimiva 2543	. 2 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
19		omex 4577	. . 3 |- om e. _V
20		iswomnimap 7142	. . 3 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. n e. om ( f ` n ) = 1o )
22	18, 21	sylibr 133	1 |- ( A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y -> om e. WOmni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096  WOmnicwomni 7139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-map 6628  df-en 6719  df-fin 6721  df-nninf 7097  df-womni 7140

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7155