Theorem nninfdcex 10417

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdcex.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdcex.m	|- ( ph -> E. y y e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables a p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 |- ( ph -> E. y y e. A )
2		eleq1w 2268	. . . 4 |- ( y = a -> ( y e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1943	. . 3 |- ( E. y y e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		1zzd 9434	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 1 e. ZZ )
6		eqid 2207	. . . 4 |- { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ NN )
8		nnuz 9719	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	7, 8	sseqtrdi 3249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
10		dfss5 3386	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) <-> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
12		dfin5 3181	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
13	11, 12	eqtrdi 2256	. . . . . 6 |- ( ph -> A = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
14	13	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. A <-> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } ) )
15	14	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
16		eleq1w 2268	. . . . . 6 |- ( x = p -> ( x e. A <-> p e. A ) )
17	16	dcbid 840	. . . . 5 |- ( x = p -> (DECID x e. A <-> DECID p e. A ) )
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
20		elfznn 10211	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 ... a ) -> p e. NN )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> p e. NN )
22	17, 19, 21	rspcdva 2889	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> DECID p e. A )
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 10413	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
24	13	raleqdv 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x ) )
25	13	rexeqdv 2712	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) )
26	25	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
27	26	ralbidv 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
28	24, 27	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2509	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
30	29	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
31	23, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
32	4, 31	exlimddv 1923	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   i^i cin 3173   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   < clt 8142   NNcn 9071   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12936