Theorem nninfdcex 12093

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdcex.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdcex.m	|- ( ph -> E. y y e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables a p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 |- ( ph -> E. y y e. A )
2		eleq1w 2254	. . . 4 |- ( y = a -> ( y e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1930	. . 3 |- ( E. y y e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		1zzd 9347	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 1 e. ZZ )
6		eqid 2193	. . . 4 |- { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ NN )
8		nnuz 9631	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	7, 8	sseqtrdi 3228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
10		dfss5 3365	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) <-> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
12		dfin5 3161	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
13	11, 12	eqtrdi 2242	. . . . . 6 |- ( ph -> A = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
14	13	eleq2d 2263	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. A <-> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } ) )
15	14	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
16		eleq1w 2254	. . . . . 6 |- ( x = p -> ( x e. A <-> p e. A ) )
17	16	dcbid 839	. . . . 5 |- ( x = p -> (DECID x e. A <-> DECID p e. A ) )
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
20		elfznn 10123	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 ... a ) -> p e. NN )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> p e. NN )
22	17, 19, 21	rspcdva 2870	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> DECID p e. A )
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 12089	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
24	13	raleqdv 2696	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x ) )
25	13	rexeqdv 2697	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) )
26	25	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
27	26	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
28	24, 27	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2495	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
30	29	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
31	23, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
32	4, 31	exlimddv 1910	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   i^i cin 3153   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   1c1 7875   < clt 8056   NNcn 8984   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12610