Theorem nninfdcex 11882

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdcex.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdcex.m	|- ( ph -> E. y y e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables a p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 |- ( ph -> E. y y e. A )
2		eleq1w 2226	. . . 4 |- ( y = a -> ( y e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1906	. . 3 |- ( E. y y e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		1zzd 9214	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 1 e. ZZ )
6		eqid 2165	. . . 4 |- { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ NN )
8		nnuz 9497	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	7, 8	sseqtrdi 3189	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
10		dfss5 3326	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) <-> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
12		dfin5 3122	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
13	11, 12	eqtrdi 2214	. . . . . 6 |- ( ph -> A = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
14	13	eleq2d 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. A <-> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } ) )
15	14	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
16		eleq1w 2226	. . . . . 6 |- ( x = p -> ( x e. A <-> p e. A ) )
17	16	dcbid 828	. . . . 5 |- ( x = p -> (DECID x e. A <-> DECID p e. A ) )
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
19	18	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
20		elfznn 9985	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 ... a ) -> p e. NN )
21	20	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> p e. NN )
22	17, 19, 21	rspcdva 2834	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> DECID p e. A )
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 11878	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
24	13	raleqdv 2666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x ) )
25	13	rexeqdv 2667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) )
26	25	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
27	26	ralbidv 2465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
28	24, 27	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2466	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
30	29	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
31	23, 30	mpbird 166	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
32	4, 31	exlimddv 1886	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   {crab 2447   i^i cin 3114   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   RRcr 7748   1c1 7750   < clt 7929   NNcn 8853   ZZ>=cuz 9462   ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12379