Theorem nninfdcex 10497

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdcex.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdcex.m	|- ( ph -> E. y y e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables a p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 |- ( ph -> E. y y e. A )
2		eleq1w 2292	. . . 4 |- ( y = a -> ( y e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1967	. . 3 |- ( E. y y e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		1zzd 9506	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 1 e. ZZ )
6		eqid 2231	. . . 4 |- { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ NN )
8		nnuz 9792	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	7, 8	sseqtrdi 3275	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
10		dfss5 3412	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) <-> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
12		dfin5 3207	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
13	11, 12	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( ph -> A = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
14	13	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. A <-> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } ) )
15	14	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
16		eleq1w 2292	. . . . . 6 |- ( x = p -> ( x e. A <-> p e. A ) )
17	16	dcbid 845	. . . . 5 |- ( x = p -> (DECID x e. A <-> DECID p e. A ) )
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
20		elfznn 10289	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 ... a ) -> p e. NN )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> p e. NN )
22	17, 19, 21	rspcdva 2915	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> DECID p e. A )
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 10493	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
24	13	raleqdv 2736	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x ) )
25	13	rexeqdv 2737	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) )
26	25	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
27	26	ralbidv 2532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
28	24, 27	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2533	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
30	29	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
31	23, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
32	4, 31	exlimddv 1947	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   i^i cin 3199   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   RRcr 8031   1c1 8033   < clt 8214   NNcn 9143   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13072