Theorem nninfdcex 10380

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdcex.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdcex.m	|- ( ph -> E. y y e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables a p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 |- ( ph -> E. y y e. A )
2		eleq1w 2266	. . . 4 |- ( y = a -> ( y e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1942	. . 3 |- ( E. y y e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		1zzd 9399	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 1 e. ZZ )
6		eqid 2205	. . . 4 |- { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ NN )
8		nnuz 9684	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	7, 8	sseqtrdi 3241	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
10		dfss5 3378	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( ZZ>= ` 1 ) <-> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) )
12		dfin5 3173	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A }
13	11, 12	eqtrdi 2254	. . . . . 6 |- ( ph -> A = { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
14	13	eleq2d 2275	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. A <-> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } ) )
15	14	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } )
16		eleq1w 2266	. . . . . 6 |- ( x = p -> ( x e. A <-> p e. A ) )
17	16	dcbid 840	. . . . 5 |- ( x = p -> (DECID x e. A <-> DECID p e. A ) )
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
20		elfznn 10176	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 ... a ) -> p e. NN )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> p e. NN )
22	17, 19, 21	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( 1 ... a ) ) -> DECID p e. A )
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 10376	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
24	13	raleqdv 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x ) )
25	13	rexeqdv 2709	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) )
26	25	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
27	26	ralbidv 2506	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) )
28	24, 27	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2507	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
30	29	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { p e. ( ZZ>= ` 1 ) | p e. A } z < y ) ) ) )
31	23, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
32	4, 31	exlimddv 1922	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   i^i cin 3165   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   1c1 7926   < clt 8107   NNcn 9036   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12821