Theorem cnpfval 14918

Description: The function mapping the points in a topology J to the set of all functions from J to topology K continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpfval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )

Distinct variable groups:   w, f, x, K   f, X, w, x   f, Y, w, x   v, f, J, w, x

Allowed substitution hints:   K( v)   X( v)   Y( v)

Proof of Theorem cnpfval

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnp 14912	. . 3 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) ) )
3		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> j = J )
4	3	unieqd 3904	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 14738	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. j = X )
8		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> k = K )
9	8	unieqd 3904	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. k = U. K )
10		toponuni 14738	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
11	10	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> Y = U. K )
12	9, 11	eqtr4d 2267	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. k = Y )
13	12, 7	oveq12d 6035	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( U. k ^m U. j ) = ( Y ^m X ) )
14	3	rexeqdv 2737	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) <-> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) <-> ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) ) )
16	8, 15	raleqbidv 2746	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) <-> A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) ) )
17	13, 16	rabeqbidv 2797	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } )
18	7, 17	mpteq12dv 4171	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
19		topontop 14737	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. Top )
21		topontop 14737	. . 3 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	21	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. Top )
23		fnmap 6823	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ^m Fn ( _V X. _V ) )
25		toponmax 14748	. . . . . . . . 9 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
26	25	elexd 2816	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> Y e. _V )
28		toponmax 14748	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
29	28	elexd 2816	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> X e. _V )
31		fnovex 6050	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
32	24, 27, 30, 31	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
34		ssrab2 3312	. . . . . 6 |- { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } C_ ( Y ^m X )
35		elpw2g 4246	. . . . . 6 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> ( { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) <-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } C_ ( Y ^m X ) ) )
36	34, 35	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) )
37	33, 36	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) )
38	37	fmpttd 5802	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) : X --> ~P ( Y ^m X ) )
39	28	adantr 276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> X e. J )
40	32	pwexd 4271	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ~P ( Y ^m X ) e. _V )
41		fex2 5503	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) : X --> ~P ( Y ^m X ) /\ X e. J /\ ~P ( Y ^m X ) e. _V ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) e. _V )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) e. _V )
43	2, 18, 20, 22, 42	ovmpod 6148	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   "cima 4728   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   ^m cmap 6816   Topctop 14720  TopOnctopon 14733   CnP ccnp 14909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-top 14721  df-topon 14734  df-cnp 14912

This theorem is referenced by:  cnpval  14921