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Theorem cnpfval 12291
Description: The function mapping the points in a topology  J to the set of all functions from  J to topology  K continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
Distinct variable groups:    w, f, x, K    f, X, w, x    f, Y, w, x    v, f, J, w, x
Allowed substitution hints:    K( v)    X( v)    Y( v)

Proof of Theorem cnpfval
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cnp 12285 . . 3  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } ) )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  CnP  =  ( j  e.  Top , 
k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } ) ) )
3 simprl 505 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
j  =  J )
43unieqd 3717 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. j  =  U. J )
5 toponuni 12109 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 479 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  X  =  U. J )
74, 6eqtr4d 2153 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. j  =  X
)
8 simprr 506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
k  =  K )
98unieqd 3717 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. k  =  U. K )
10 toponuni 12109 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
1110ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  Y  =  U. K )
129, 11eqtr4d 2153 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. k  =  Y
)
1312, 7oveq12d 5760 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( U. k  ^m  U. j )  =  ( Y  ^m  X ) )
143rexeqdv 2610 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  ( f
" v )  C_  w )  <->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) )
1514imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) )  <-> 
( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) ) )
168, 15raleqbidv 2615 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( A. w  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) )  <->  A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) ) )
1713, 16rabeqbidv 2655 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) }  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )
187, 17mpteq12dv 3980 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) )
19 topontop 12108 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2019adantr 274 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  J  e.  Top )
21 topontop 12108 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
2221adantl 275 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  K  e.  Top )
23 fnmap 6517 . . . . . . . 8  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
2423a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ^m  Fn  ( _V  X.  _V ) )
25 toponmax 12119 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
2625elexd 2673 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  _V )
2726adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  Y  e.  _V )
28 toponmax 12119 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
2928elexd 2673 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
3029adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  X  e.  _V )
31 fnovex 5772 . . . . . . 7  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  Y  e.  _V  /\  X  e. 
_V )  ->  ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
3224, 27, 30, 31syl3anc 1201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( Y  ^m  X )  e.  _V )
3332adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
34 ssrab2 3152 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  C_  ( Y  ^m  X )
35 elpw2g 4051 . . . . . 6  |-  ( ( Y  ^m  X )  e.  _V  ->  ( { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  e.  ~P ( Y  ^m  X )  <->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) ) )
3634, 35mpbiri 167 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  e.  _V  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X ) )
3733, 36syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X ) )
3837fmpttd 5543 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) : X --> ~P ( Y  ^m  X ) )
3928adantr 274 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  X  e.  J )
4032pwexd 4075 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
41 fex2 5261 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) : X --> ~P ( Y  ^m  X
)  /\  X  e.  J  /\  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V )  ->  (
x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  e. 
_V )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1201 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  e. 
_V )
432, 18, 20, 22, 42ovmpod 5866 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   ~Pcpw 3480   U.cuni 3706    |-> cmpt 3959    X. cxp 4507   "cima 4512    Fn wfn 5088   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742    e. cmpo 5744    ^m cmap 6510   Topctop 12091  TopOnctopon 12104    CnP ccnp 12282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-top 12092  df-topon 12105  df-cnp 12285
This theorem is referenced by:  cnpval  12294
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