Theorem cnpfval 14363

Description: The function mapping the points in a topology J to the set of all functions from J to topology K continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpfval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )

Distinct variable groups:   w, f, x, K   f, X, w, x   f, Y, w, x   v, f, J, w, x

Allowed substitution hints:   K( v)   X( v)   Y( v)

Proof of Theorem cnpfval

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnp 14357	. . 3 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) ) )
3		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> j = J )
4	3	unieqd 3846	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 14183	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2229	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. j = X )
8		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> k = K )
9	8	unieqd 3846	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. k = U. K )
10		toponuni 14183	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
11	10	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> Y = U. K )
12	9, 11	eqtr4d 2229	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. k = Y )
13	12, 7	oveq12d 5936	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( U. k ^m U. j ) = ( Y ^m X ) )
14	3	rexeqdv 2697	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) <-> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) <-> ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) ) )
16	8, 15	raleqbidv 2706	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) <-> A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) ) )
17	13, 16	rabeqbidv 2755	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } )
18	7, 17	mpteq12dv 4111	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
19		topontop 14182	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. Top )
21		topontop 14182	. . 3 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	21	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. Top )
23		fnmap 6709	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ^m Fn ( _V X. _V ) )
25		toponmax 14193	. . . . . . . . 9 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
26	25	elexd 2773	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> Y e. _V )
28		toponmax 14193	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
29	28	elexd 2773	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> X e. _V )
31		fnovex 5951	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
32	24, 27, 30, 31	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
34		ssrab2 3264	. . . . . 6 |- { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } C_ ( Y ^m X )
35		elpw2g 4185	. . . . . 6 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> ( { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) <-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } C_ ( Y ^m X ) ) )
36	34, 35	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) )
37	33, 36	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) )
38	37	fmpttd 5713	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) : X --> ~P ( Y ^m X ) )
39	28	adantr 276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> X e. J )
40	32	pwexd 4210	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ~P ( Y ^m X ) e. _V )
41		fex2 5422	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) : X --> ~P ( Y ^m X ) /\ X e. J /\ ~P ( Y ^m X ) e. _V ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) e. _V )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) e. _V )
43	2, 18, 20, 22, 42	ovmpod 6046	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   "cima 4662   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   ^m cmap 6702   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   CnP ccnp 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-cnp 14357

This theorem is referenced by:  cnpval  14366