Theorem grppropd 13663

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a group iff the other one is. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grppropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grppropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grppropd	|- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem grppropd

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		grppropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		grppropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4	1, 2, 3	mndpropd 13586	. . 3 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
5	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
6	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
7		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
8	5, 7	basmexd 13206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. _V )
9	6, 7	basmexd 13206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. _V )
10	3	ralrimivva 2615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
11		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` K ) y ) )
12		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x ( +g ` L ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) <-> ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) ) )
14		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` K ) w ) )
15		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( z ( +g ` L ) y ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
16	14, 15	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) <-> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) ) )
17	13, 16	cbvral2v 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) <-> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
18	10, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
20	19	r19.21bi 2621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
21	20	r19.21bi 2621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) /\ w e. B ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
22	21	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
23	5, 6, 8, 9, 22	grpidpropdg 13520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
24	3, 23	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
25	24	anass1rs 573	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
26	25	rexbidva 2530	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
27	26	ralbidva 2529	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
28	1	rexeqdv 2738	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
29	1, 28	raleqbidv 2747	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
30	2	rexeqdv 2738	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) <-> E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
31	2, 30	raleqbidv 2747	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) <-> A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
32	27, 29, 31	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
33	4, 32	anbi12d 473	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( L e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) ) )
34		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
35		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
36		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
37	34, 35, 36	isgrp 13652	. 2 |- ( K e. Grp <-> ( K e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
38		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
39		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
40		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
41	38, 39, 40	isgrp 13652	. 2 |- ( L e. Grp <-> ( L e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
42	33, 37, 41	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   Mndcmnd 13562   Grpcgrp 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649

This theorem is referenced by:  grpprop  13664  grppropstrg  13665  ghmpropd  13933  ablpropd  13946  ringpropd  14115  opprring  14156  opprsubgg  14161  lmodprop2d  14427  sralmod  14529  psrgrp  14769