Theorem grppropd 12753

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a group iff the other one is. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grppropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grppropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grppropd	|- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem grppropd

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		grppropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		grppropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4	1, 2, 3	mndpropd 12705	. . 3 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
5	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
6	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
7		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
8	5, 7	basmexd 12486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. _V )
9	6, 7	basmexd 12486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. _V )
10	3	ralrimivva 2557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
11		oveq1 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` K ) y ) )
12		oveq1 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x ( +g ` L ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) <-> ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) ) )
14		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` K ) w ) )
15		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( z ( +g ` L ) y ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
16	14, 15	eqeq12d 2190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) <-> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) ) )
17	13, 16	cbvral2v 2714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) <-> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
18	10, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
20	19	r19.21bi 2563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
21	20	r19.21bi 2563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) /\ w e. B ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
22	21	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
23	5, 6, 8, 9, 22	grpidpropdg 12657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
24	3, 23	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
25	24	anass1rs 571	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
26	25	rexbidva 2472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
27	26	ralbidva 2471	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
28	1	rexeqdv 2677	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
29	1, 28	raleqbidv 2682	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
30	2	rexeqdv 2677	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) <-> E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
31	2, 30	raleqbidv 2682	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) <-> A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
32	27, 29, 31	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
33	4, 32	anbi12d 473	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( L e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) ) )
34		eqid 2175	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
35		eqid 2175	. . 3 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
36		eqid 2175	. . 3 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
37	34, 35, 36	isgrp 12743	. 2 |- ( K e. Grp <-> ( K e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
38		eqid 2175	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
39		eqid 2175	. . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
40		eqid 2175	. . 3 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
41	38, 39, 40	isgrp 12743	. 2 |- ( L e. Grp <-> ( L e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
42	33, 37, 41	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   +g cplusg 12491   0gc0g 12625   Mndcmnd 12681   Grpcgrp 12737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-0g 12627  df-mgm 12639  df-sgrp 12672  df-mnd 12682  df-grp 12740

This theorem is referenced by:  grpprop  12754  grppropstrg  12755  ablpropd  12895  ringpropd  13009