Theorem grppropd 13747

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a group iff the other one is. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grppropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grppropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grppropd	|- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem grppropd

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		grppropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		grppropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4	1, 2, 3	mndpropd 13670	. . 3 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
5	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
6	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
7		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
8	5, 7	basmexd 13290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. _V )
9	6, 7	basmexd 13290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. _V )
10	3	ralrimivva 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
11		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` K ) y ) )
12		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x ( +g ` L ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) <-> ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) ) )
14		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` K ) w ) )
15		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( z ( +g ` L ) y ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
16	14, 15	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( ( z ( +g ` K ) y ) = ( z ( +g ` L ) y ) <-> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) ) )
17	13, 16	cbvral2v 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) <-> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
18	10, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
20	19	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> A. w e. B ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
21	20	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) /\ w e. B ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
22	21	anasss 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
23	5, 6, 8, 9, 22	grpidpropdg 13604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
24	3, 23	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
25	24	anass1rs 573	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
26	25	rexbidva 2541	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
27	26	ralbidva 2540	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
28	1	rexeqdv 2750	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
29	1, 28	raleqbidv 2759	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
30	2	rexeqdv 2750	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) <-> E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
31	2, 30	raleqbidv 2759	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B E. x e. B ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) <-> A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
32	27, 29, 31	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) <-> A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
33	4, 32	anbi12d 473	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( L e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) ) )
34		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
35		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
36		eqid 2234	. . 3 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
37	34, 35, 36	isgrp 13736	. 2 |- ( K e. Grp <-> ( K e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` K ) E. x e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) = ( 0g ` K ) ) )
38		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
39		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
40		eqid 2234	. . 3 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
41	38, 39, 40	isgrp 13736	. 2 |- ( L e. Grp <-> ( L e. Mnd /\ A. y e. ( Base ` L ) E. x e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) = ( 0g ` L ) ) )
42	33, 37, 41	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   0gc0g 13486   Mndcmnd 13646   Grpcgrp 13730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733

This theorem is referenced by:  grpprop  13748  grppropstrg  13749  ghmpropd  14017  ablpropd  14030  ringpropd  14199  opprring  14240  opprsubgg  14245  lmodprop2d  14513  sralmod  14615  psrgrp  14857