Theorem zproddc 11453

Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprod.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zproddc.3	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
zprod.4	|- ( ph -> A C_ Z )
zproddc.dc	|- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
zprod.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
zprod.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zproddc	|- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k, n, y   B, j, n, y   k, F   j, M, k, n, y   j, Z, k, n   ph, j, k, n, y

Allowed substitution hints:   B( k)   F( y, j, n)   Z( y)

Proof of Theorem zproddc

Dummy variables f g i m p r q x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x )
3	1, 2	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
4		nfcv 2296	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i if ( k e. A , B , 1 )
5		nfv 1505	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k i e. A
6		nfcsb1v 3060	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
7		nfcv 2296	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k 1
8	5, 6, 7	nfif 3529	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 1 )
9		eleq1w 2215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( k e. A <-> i e. A ) )
10		csbeq1a 3036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
11	9, 10	ifbieq1d 3523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 1 ) )
12	4, 8, 11	cbvmpt 4055	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( i e. ZZ |-> if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 1 ) )
13		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ph )
14		zprod.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
15	14	ralrimiva 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
16	6	nfel1 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ i / k ]_ B e. CC
17	10	eleq1d 2223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( B e. CC <-> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
18	16, 17	rspc 2807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
19	15, 18	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A -> ( ph -> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
20	13, 19	mpan9 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
21		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> m e. ZZ )
22		zprod.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> M e. ZZ )
24		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
25		zprod.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ Z )
26		zprod.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27	25, 26	sseqtrdi 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
29		zproddc.dc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
30	26	raleqi 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. j e. Z DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
31	29, 30	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
32		eleq1w 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = i -> ( j e. A <-> i e. A ) )
33	32	dcbid 824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = i -> (DECID j e. A <-> DECID i e. A ) )
34	33	cbvralv 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A <-> A. i e. ( ZZ>= ` M )DECID i e. A )
35	31, 34	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. i e. ( ZZ>= ` M )DECID i e. A )
36	35	r19.21bi 2542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
37	36	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
38	37	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
39	38	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
40		simp-4l 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. i e. ( ZZ>= ` M ) )
42	27	ssneld 3126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( -. i e. ( ZZ>= ` M ) -> -. i e. A ) )
43	40, 41, 42	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. i e. A )
44	43	olcd 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( i e. A \/ -. i e. A ) )
45		df-dc 821	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID i e. A <-> ( i e. A \/ -. i e. A ) )
46	44, 45	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
47		eluzelz 9427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` m ) -> i e. ZZ )
48		eluzdc 9499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> DECID i e. ( ZZ>= ` M ) )
49	23, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID i e. ( ZZ>= ` M ) )
50		exmiddc 822	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) )
52	39, 46, 51	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID i e. A )
53	12, 20, 21, 23, 24, 28, 52, 38	prodrbdc 11448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
54	53	biimpd 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
55	54	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
56	3, 55	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
57	56	rexlimdva 2571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
58		uzssz 9437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
59	27, 58	sstrdi 3136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ZZ )
60	59	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ZZ )
61		1zzd 9173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> 1 e. ZZ )
62		nnz 9165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
63	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ZZ )
65	61, 64	fzfigd 10308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
67		f1oeng 6691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
68	65, 66, 67	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
69	68	ensymd 6717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
70		enfii 6808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
71	65, 69, 70	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
72		zfz1iso 10689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
73	60, 71, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
74		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ph )
75	74, 19	mpan9 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
76		breq1 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
77		fveq2 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
78	77	csbeq1d 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
79	76, 78	ifbieq1d 3523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
80		csbcow 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B
81		ifeq1 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 )
83	79, 82	eqtr4di 2205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 1 ) )
84	83	cbvmptv 4056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 1 ) )
85		eqid 2154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 1 ) )
86	36	ad4ant14 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
87		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
88	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> M e. ZZ )
89	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
90		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
91		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
92	12, 75, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91	prodmodclem2a 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) )
93	65	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
94	93, 90	fihasheqf1od 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
95	87	nnnn0d 9122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN0 )
96		hashfz1 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
97	95, 96	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
98	94, 97	eqtr3d 2189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` A ) = m )
99	98	breq2d 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> n <_ m ) )
100	99	ifbid 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) )
101	100	mpteq2dv 4051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) )
102	101	seqeq3d 10330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) )
103	102	fveq1d 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) )
104	92, 103	breqtrd 3986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) )
105	104	expr 373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) )
106	105	exlimdv 1796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) )
107	73, 106	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) )
108		breq2 3965	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) -> ( seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) )
109	107, 108	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
110	109	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
111	110	exlimdv 1796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
112	111	rexlimdva 2571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
113	57, 112	jaod 707	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
114	22	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> M e. ZZ )
115	27	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
116	31	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
117	115, 116	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) )
118		zproddc.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
119	26	eleq2i 2221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
120		eluzelz 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
121	120	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ZZ )
122		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> p e. ( ZZ>= ` n ) )
123		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
124		uztrn 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` n ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> p e. ( ZZ>= ` M ) )
125	122, 123, 124	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> p e. ( ZZ>= ` M ) )
126	125, 26	eleqtrrdi 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> p e. Z )
127		zprod.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
128	127	ralrimiva 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
129	128	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
130		nfv 1505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k p e. A
131		nfcsb1v 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ p / k ]_ B
132	130, 131, 7	nfif 3529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 )
133	132	nfeq2 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k ( F ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 )
134		fveq2 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = p -> ( F ` k ) = ( F ` p ) )
135		eleq1w 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = p -> ( k e. A <-> p e. A ) )
136		csbeq1a 3036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = p -> B = [_ p / k ]_ B )
137	135, 136	ifbieq1d 3523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = p -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
138	134, 137	eqeq12d 2169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = p -> ( ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) <-> ( F ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) ) )
139	133, 138	rspc 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p e. Z -> ( A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) -> ( F ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) ) )
140	126, 129, 139	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
141		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ p e. A ) -> p e. A )
142	15	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ p e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
143	131	nfel1 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k [_ p / k ]_ B e. CC
144	136	eleq1d 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = p -> ( B e. CC <-> [_ p / k ]_ B e. CC ) )
145	143, 144	rspc 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ p / k ]_ B e. CC ) )
146	141, 142, 145	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ p e. A ) -> [_ p / k ]_ B e. CC )
147		1cnd 7873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ -. p e. A ) -> 1 e. CC )
148		eleq1w 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = p -> ( j e. A <-> p e. A ) )
149	148	dcbid 824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = p -> (DECID j e. A <-> DECID p e. A ) )
150	29	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. j e. Z DECID j e. A )
151	149, 150, 126	rspcdva 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> DECID p e. A )
152	146, 147, 151	ifcldadc 3530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC )
153	140, 152	eqeltrd 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` p ) e. CC )
154		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> r e. ( ZZ>= ` n ) )
155		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
156		uztrn 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( r e. ( ZZ>= ` n ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> r e. ( ZZ>= ` M ) )
157	154, 155, 156	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> r e. ( ZZ>= ` M ) )
158	157, 26	eleqtrrdi 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> r e. Z )
159	128	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
160		nfv 1505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k r e. A
161		nfcsb1v 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ r / k ]_ B
162	160, 161, 7	nfif 3529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 )
163	162	nfeq2 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k ( F ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 )
164		fveq2 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = r -> ( F ` k ) = ( F ` r ) )
165		eleq1w 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = r -> ( k e. A <-> r e. A ) )
166		csbeq1a 3036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = r -> B = [_ r / k ]_ B )
167	165, 166	ifbieq1d 3523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = r -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) )
168	164, 167	eqeq12d 2169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = r -> ( ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) <-> ( F ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) ) )
169	163, 168	rspc 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. Z -> ( A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) -> ( F ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) ) )
170	158, 159, 169	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) )
171	58, 157	sseldi 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> r e. ZZ )
172		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ r e. A ) -> r e. A )
173	15	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ r e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
174	161	nfel1 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k [_ r / k ]_ B e. CC
175	166	eleq1d 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = r -> ( B e. CC <-> [_ r / k ]_ B e. CC ) )
176	174, 175	rspc 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ r / k ]_ B e. CC ) )
177	172, 173, 176	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ r e. A ) -> [_ r / k ]_ B e. CC )
178		1cnd 7873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ -. r e. A ) -> 1 e. CC )
179		eleq1w 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = r -> ( j e. A <-> r e. A ) )
180	179	dcbid 824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = r -> (DECID j e. A <-> DECID r e. A ) )
181	29	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. j e. Z DECID j e. A )
182	180, 181, 158	rspcdva 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> DECID r e. A )
183	177, 178, 182	ifcldadc 3530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) e. CC )
184		nfcv 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k r
185		eqid 2154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
186	184, 162, 167, 185	fvmptf 5553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. ZZ /\ if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) )
187	171, 183, 186	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) )
188	170, 187	eqtr4d 2190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` r ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` r ) )
189		mulcl 7838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. CC /\ q e. CC ) -> ( p x. q ) e. CC )
190	189	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( p e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( p x. q ) e. CC )
191	121, 153, 188, 190	seq3feq 10349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> seq n ( x. , F ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
192	191	breq1d 3971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq n ( x. , F ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
193	192	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
194	193	exbidv 1802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
195	119, 194	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
196	195	rexbidva 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
197	118, 196	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
198	26	rexeqi 2654	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
199	197, 198	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
200	199	anim1i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
201		fveq2 5461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` M ) )
202	201	sseq2d 3154	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` M ) ) )
203	201	raleqdv 2655	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) )
204	202, 203	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) ) )
205	201	rexeqdv 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
206		seqeq1 10325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
207	206	breq1d 3971	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
208	205, 207	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
209	204, 208	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
210	209	rspcev 2813	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) -> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
211	114, 117, 200, 210	syl12anc 1215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
212	211	orcd 723	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
213	212	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
214	113, 213	impbid 128	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
215		eluzelz 9427	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( ZZ>= ` M ) -> p e. ZZ )
216		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. A ) -> p e. A )
217	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
218	216, 217, 145	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ p e. A ) -> [_ p / k ]_ B e. CC )
219		1cnd 7873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. p e. A ) -> 1 e. CC )
220	29	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. Z DECID j e. A )
221	26	eleq2i 2221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Z <-> p e. ( ZZ>= ` M ) )
222	221	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` M ) -> p e. Z )
223	222	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) -> p e. Z )
224	149, 220, 223	rspcdva 2818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID p e. A )
225	218, 219, 224	ifcldadc 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC )
226		nfcv 2296	. . . . . . . . 9 |- F/_ k p
227	226, 132, 137, 185	fvmptf 5553	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
228	215, 225, 227	syl2an2 584	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
229	228, 225	eqeltrd 2231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) e. CC )
230		eluzelz 9427	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ZZ>= ` M ) -> r e. ZZ )
231		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. A ) -> r e. A )
232	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
233	231, 232, 176	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ r e. A ) -> [_ r / k ]_ B e. CC )
234		1cnd 7873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. r e. A ) -> 1 e. CC )
235	29	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. Z DECID j e. A )
236	26	eleq2i 2221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. Z <-> r e. ( ZZ>= ` M ) )
237	236	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. ( ZZ>= ` M ) -> r e. Z )
238	237	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> r e. Z )
239	180, 235, 238	rspcdva 2818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID r e. A )
240	233, 234, 239	ifcldadc 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) e. CC )
241	230, 240, 186	syl2an2 584	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) )
242	128	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
243	238, 242, 169	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` r ) = if ( r e. A , [_ r / k ]_ B , 1 ) )
244	241, 243	eqtr4d 2190	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` r ) = ( F ` r ) )
245	189	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( p x. q ) e. CC )
246	22, 229, 244, 245	seq3feq 10349	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq M ( x. , F ) )
247	246	breq1d 3971	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , F ) ~~> x ) )
248	214, 247	bitrd 187	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( x. , F ) ~~> x ) )
249	248	iotabidv 5149	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x seq M ( x. , F ) ~~> x ) )
250		df-proddc 11425	. 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
251		df-fv 5171	. 2 |- ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = ( iota x seq M ( x. , F ) ~~> x )
252	249, 250, 251	3eqtr4g 2212	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 2125   A.wral 2432   E.wrex 2433   [_csb 3027   C_ wss 3098   ifcif 3501   class class class wbr 3961   |-> cmpt 4021   iotacio 5126   -1-1-onto->wf1o 5162   ` cfv 5163   Isom wiso 5164  (class class class)co 5814   ~~ cen 6672   Fincfn 6674   CCcc 7709   0cc0 7711   1c1 7712   x. cmul 7716   < clt 7891   <_ cle 7892   # cap 8435   NNcn 8812   NN0cn0 9069   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418   ...cfz 9890   seqcseq 10322  ♯chash 10626   ~~> cli 11152   prod_cprod 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-proddc 11425

This theorem is referenced by:  iprodap  11454  zprodap0  11455  prodssdc  11463