Theorem riinerm 6621

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinerm	|- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem riinerm

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinerm 6620	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )
2		eleq1 2250	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1928	. . . . 5 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4		eleq1 2250	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A ) )
5	4	cbvexv 1928	. . . . 5 |- ( E. a a e. A <-> E. y y e. A )
6	3, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
7		erssxp 6571	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> R C_ ( B X. B ) )
8	7	ralimi 2550	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A R C_ ( B X. B ) )
9		riinm 3971	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A R C_ ( B X. B ) /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
11		ereq1 6555	. . . . 5 |- ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
13	6, 12	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. y y e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
14	13	ancoms 268	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
15	1, 14	mpbird 167	1 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   i^i cin 3140   C_ wss 3141   |^|_ciin 3899   X. cxp 4636   Er wer 6545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-iin 3901  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-er 6548

This theorem is referenced by: (None)