Theorem riinerm 6604

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinerm	|- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem riinerm

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinerm 6603	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )
2		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1918	. . . . 5 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A ) )
5	4	cbvexv 1918	. . . . 5 |- ( E. a a e. A <-> E. y y e. A )
6	3, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
7		erssxp 6554	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> R C_ ( B X. B ) )
8	7	ralimi 2540	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A R C_ ( B X. B ) )
9		riinm 3958	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A R C_ ( B X. B ) /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
11		ereq1 6538	. . . . 5 |- ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
13	6, 12	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. y y e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
14	13	ancoms 268	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
15	1, 14	mpbird 167	1 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3128   C_ wss 3129   |^|_ciin 3887   X. cxp 4623   Er wer 6528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-iin 3889  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-er 6531

This theorem is referenced by: (None)