Theorem riinerm 6502

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinerm	|- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem riinerm

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinerm 6501	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )
2		eleq1 2202	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1890	. . . . 5 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4		eleq1 2202	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A ) )
5	4	cbvexv 1890	. . . . 5 |- ( E. a a e. A <-> E. y y e. A )
6	3, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
7		erssxp 6452	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> R C_ ( B X. B ) )
8	7	ralimi 2495	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A R C_ ( B X. B ) )
9		riinm 3885	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A R C_ ( B X. B ) /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
10	8, 9	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
11		ereq1 6436	. . . . 5 |- ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
13	6, 12	sylan2br 286	. . 3 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. y y e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
14	13	ancoms 266	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
15	1, 14	mpbird 166	1 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   i^i cin 3070   C_ wss 3071   |^|_ciin 3814   X. cxp 4537   Er wer 6426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-iin 3816  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-er 6429

This theorem is referenced by: (None)