Theorem riinerm 6697

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinerm	|- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem riinerm

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinerm 6696	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )
2		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1942	. . . . 5 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A ) )
5	4	cbvexv 1942	. . . . 5 |- ( E. a a e. A <-> E. y y e. A )
6	3, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
7		erssxp 6645	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> R C_ ( B X. B ) )
8	7	ralimi 2569	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A R C_ ( B X. B ) )
9		riinm 4000	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A R C_ ( B X. B ) /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
11		ereq1 6629	. . . . 5 |- ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
13	6, 12	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. y y e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
14	13	ancoms 268	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
15	1, 14	mpbird 167	1 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   i^i cin 3165   C_ wss 3166   |^|_ciin 3928   X. cxp 4674   Er wer 6619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-iin 3930  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-er 6622

This theorem is referenced by: (None)