Theorem riinerm 6820

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinerm	|- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem riinerm

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinerm 6819	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )
2		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1967	. . . . 5 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A ) )
5	4	cbvexv 1967	. . . . 5 |- ( E. a a e. A <-> E. y y e. A )
6	3, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
7		erssxp 6768	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> R C_ ( B X. B ) )
8	7	ralimi 2596	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A R C_ ( B X. B ) )
9		riinm 4048	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A R C_ ( B X. B ) /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R )
11		ereq1 6752	. . . . 5 |- ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) = |^|_ x e. A R -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. x x e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
13	6, 12	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( A. x e. A R Er B /\ E. y y e. A ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
14	13	ancoms 268	. 2 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B <-> |^|_ x e. A R Er B ) )
15	1, 14	mpbird 167	1 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( B X. B ) i^i |^|_ x e. A R ) Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   i^i cin 3200   C_ wss 3201   |^|_ciin 3976   X. cxp 4729   Er wer 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-iin 3978  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-er 6745

This theorem is referenced by: (None)