ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  riinerm GIF version

Theorem riinerm 6295
Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
riinerm ((∃𝑦 𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem riinerm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iinerm 6294 . 2 ((∃𝑦 𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
2 eleq1 2145 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴𝑎𝐴))
32cbvexv 1838 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎𝐴)
4 eleq1 2145 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝐴𝑦𝐴))
54cbvexv 1838 . . . . 5 (∃𝑎 𝑎𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
63, 5bitri 182 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
7 erssxp 6245 . . . . . . 7 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
87ralimi 2432 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
9 riinm 3776 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
108, 9sylan 277 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
11 ereq1 6229 . . . . 5 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1210, 11syl 14 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
136, 12sylan2br 282 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦𝐴) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1413ancoms 264 . 2 ((∃𝑦 𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
151, 14mpbird 165 1 ((∃𝑦 𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wral 2353  cin 2983  wss 2984   ciin 3705   × cxp 4399   Er wer 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-iin 3707  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-er 6222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator