Theorem rpgecld 9672

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )
rpgecld.3	|- ( ph -> B <_ A )

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
2		rpgecld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3		rpgecld.3	. 2 |- ( ph -> B <_ A )
4		rpgecl 9618	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ A e. RR /\ B <_ A ) -> A e. RR+ )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   <_ cle 7934   RR+crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltwlin 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  isumrpcl  11435  rpabscxpbnd  13499