Theorem rpgecld 9964

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )
rpgecld.3	|- ( ph -> B <_ A )

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
2		rpgecld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3		rpgecld.3	. 2 |- ( ph -> B <_ A )
4		rpgecl 9910	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ A e. RR /\ B <_ A ) -> A e. RR+ )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1271	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8024   <_ cle 8208   RR+crp 9881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltwlin 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-rp 9882

This theorem is referenced by:  isumrpcl  12048  rpabscxpbnd  15657