ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpgecld Unicode version

Theorem rpgecld 9649
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
rpgecld.3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Assertion
Ref Expression
rpgecld  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
2 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 rpgecld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
4 rpgecl 9595 . 2  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  A  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
51, 2, 3, 4syl3anc 1220 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2128   class class class wbr 3967   RRcr 7733    <_ cle 7915   RR+crp 9566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1re 7828  ax-addrcl 7831  ax-rnegex 7843  ax-pre-ltwlin 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-rp 9567
This theorem is referenced by:  isumrpcl  11402  rpabscxpbnd  13329
  Copyright terms: Public domain W3C validator