Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrpcl Unicode version

Theorem isumrpcl 11214
 Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1
isumrpcl.2
isumrpcl.3
isumrpcl.4
isumrpcl.5
isumrpcl.6
Assertion
Ref Expression
isumrpcl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3
2 isumrpcl.3 . . . . 5
3 isumrpcl.1 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2208 . . . 4
5 eluzelz 9287 . . . 4
64, 5syl 14 . . 3
7 uzss 9298 . . . . . . 7
84, 7syl 14 . . . . . 6
98, 1, 33sstr4g 3108 . . . . 5
109sselda 3065 . . . 4
11 isumrpcl.4 . . . 4
1210, 11syldan 278 . . 3
13 isumrpcl.5 . . . . 5
1413rpred 9434 . . . 4
1510, 14syldan 278 . . 3
16 isumrpcl.6 . . . 4
1711, 13eqeltrd 2192 . . . . . 6
1817rpcnd 9436 . . . . 5
193, 2, 18iserex 11059 . . . 4
2016, 19mpbid 146 . . 3
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 11149 . 2
22 fveq2 5387 . . . 4
2322eleq1d 2184 . . 3
2417ralrimiva 2480 . . 3
2523, 24, 2rspcdva 2766 . 2
268sselda 3065 . . . . . 6
2726, 3syl6eleqr 2209 . . . . 5
2827, 17syldan 278 . . . 4
29 rpaddcl 9416 . . . . 5
3029adantl 273 . . . 4
316, 28, 30seq3-1 10184 . . 3
32 uzid 9292 . . . . . 6
336, 32syl 14 . . . . 5
3433, 1syl6eleqr 2209 . . . 4
3515recnd 7758 . . . . 5
361, 6, 12, 35, 20isumclim2 11142 . . . 4
379sseld 3064 . . . . . . 7
38 fveq2 5387 . . . . . . . . 9
3938eleq1d 2184 . . . . . . . 8
4039rspcv 2757 . . . . . . 7
4137, 24, 40syl6ci 1404 . . . . . 6
4241imp 123 . . . . 5
4342rpred 9434 . . . 4
4442rpge0d 9438 . . . 4
451, 34, 36, 43, 44climserle 11065 . . 3
4631, 45eqbrtrrd 3920 . 2
4721, 25, 46rpgecld 9474 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1314   wcel 1463  wral 2391   wss 3039   cdm 4507  cfv 5091  (class class class)co 5740  cr 7583   caddc 7587   cle 7765  cz 9008  cuz 9278  crp 9393   cseq 10169   cli 10998  csu 11073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074 This theorem is referenced by:  effsumlt  11308  eirraplem  11390
 Copyright terms: Public domain W3C validator