Theorem rpgecl 10100

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rpgecl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
2		0red 8333	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 e. RR )
3		rpre 10078	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
4	3	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
5		rpgt0 10083	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
6	5	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < A )
7		simp3 1030	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
8	2, 4, 1, 6, 7	ltletrd 8758	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < B )
9		elrp 10073	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 421	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-rp 10072

This theorem is used by:  divge1  10141  rpgecld  10154  logge0  16110