Theorem rpgecl 9639

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rpgecl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 993	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
2		0red 7921	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 e. RR )
3		rpre 9617	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
4	3	3ad2ant1 1013	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
5		rpgt0 9622	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
6	5	3ad2ant1 1013	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < A )
7		simp3 994	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
8	2, 4, 1, 6, 7	ltletrd 8342	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < B )
9		elrp 9612	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 415	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   <_ cle 7955   RR+crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  divge1  9680  rpgecld  9693  logge0  13595