Theorem rpgecl 10033

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rpgecl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
2		0red 8291	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 e. RR )
3		rpre 10011	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
4	3	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
5		rpgt0 10016	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
6	5	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < A )
7		simp3 1026	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
8	2, 4, 1, 6, 7	ltletrd 8714	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < B )
9		elrp 10006	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324   <_ cle 8325   RR+crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltwlin 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  divge1  10074  rpgecld  10087  logge0  15871