ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpgecl Unicode version

Theorem rpgecl 9425
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rpgecl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpgecl
StepHypRef Expression
1 simp2 967 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2 0red 7735 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  e.  RR )
3 rpre 9403 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
433ad2ant1 987 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
5 rpgt0 9408 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
653ad2ant1 987 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  <  A )
7 simp3 968 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
82, 4, 1, 6, 7ltletrd 8153 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B )
9 elrp 9399 . 2  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
101, 8, 9sylanbrc 413 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768    <_ cle 7769   RR+crp 9397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-rp 9398
This theorem is referenced by:  divge1  9465  rpgecld  9478
  Copyright terms: Public domain W3C validator