Theorem rpgecl 10062

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rpgecl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
2		0red 8317	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 e. RR )
3		rpre 10040	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
4	3	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
5		rpgt0 10045	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
6	5	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < A )
7		simp3 1030	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
8	2, 4, 1, 6, 7	ltletrd 8741	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < B )
9		elrp 10035	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 421	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   0cc0 8169   < clt 8350   <_ cle 8351   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  divge1  10103  rpgecld  10116  logge0  15904