Theorem rpgecl 9567

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rpgecl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 983	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
2		0red 7858	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 e. RR )
3		rpre 9545	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
4	3	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
5		rpgt0 9550	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
6	5	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < A )
7		simp3 984	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
8	2, 4, 1, 6, 7	ltletrd 8277	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> 0 < B )
9		elrp 9540	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   e. wcel 2125   class class class wbr 3961   RRcr 7710   0cc0 7711   < clt 7891   <_ cle 7892   RR+crp 9538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1re 7805  ax-addrcl 7808  ax-rnegex 7820  ax-pre-ltwlin 7824

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-cnv 4587  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-rp 9539

This theorem is referenced by:  divge1  9608  rpgecld  9621  logge0  13140