Theorem smoel 6409

Description: If x is less than y then a strictly monotone function's value will be strictly less at x than at y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoel	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Proof of Theorem smoel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm 6400	. . . . 5 |- ( Smo B -> Ord dom B )
2		ordtr1 4453	. . . . . . 7 |- ( Ord dom B -> ( ( C e. A /\ A e. dom B ) -> C e. dom B ) )
3	2	ancomsd 269	. . . . . 6 |- ( Ord dom B -> ( ( A e. dom B /\ C e. A ) -> C e. dom B ) )
4	3	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( Ord dom B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
5	1, 4	sylan 283	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
6		df-smo 6395	. . . . . 6 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
7		eleq1 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x e. y <-> C e. y ) )
8		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = C -> ( B ` x ) = ( B ` C ) )
9	8	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( ( B ` x ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) ) )
11		eleq2 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( C e. y <-> C e. A ) )
12		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( B ` y ) = ( B ` A ) )
13	12	eleq2d 2277	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( ( B ` C ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
15	10, 14	rspc2v 2897	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. dom B /\ A e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
16	15	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
17	16	com12 30	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
18	17	3ad2ant3 1023	. . . . . 6 |- ( ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
19	6, 18	sylbi 121	. . . . 5 |- ( Smo B -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
20	19	expdimp 259	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. dom B -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
21	5, 20	syld 45	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
22	21	pm2.43d 50	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
23	22	3impia 1203	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   Ord word 4427   Oncon0 4428   dom cdm 4693   -->wf 5286   ` cfv 5290   Smo wsmo 6394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-tr 4159  df-iord 4431  df-iota 5251  df-fv 5298  df-smo 6395

This theorem is referenced by:  smoiun  6410  smoel2  6412