Theorem smoel 6561

Description: If x is less than y then a strictly monotone function's value will be strictly less at x than at y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoel	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Proof of Theorem smoel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm 6552	. . . . 5 |- ( Smo B -> Ord dom B )
2		ordtr1 4528	. . . . . . 7 |- ( Ord dom B -> ( ( C e. A /\ A e. dom B ) -> C e. dom B ) )
3	2	ancomsd 269	. . . . . 6 |- ( Ord dom B -> ( ( A e. dom B /\ C e. A ) -> C e. dom B ) )
4	3	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( Ord dom B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
5	1, 4	sylan 283	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
6		df-smo 6547	. . . . . 6 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
7		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x e. y <-> C e. y ) )
8		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = C -> ( B ` x ) = ( B ` C ) )
9	8	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( ( B ` x ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) ) )
11		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( C e. y <-> C e. A ) )
12		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( B ` y ) = ( B ` A ) )
13	12	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( ( B ` C ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
15	10, 14	rspc2v 2943	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. dom B /\ A e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
16	15	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
17	16	com12 30	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
18	17	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 |- ( ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
19	6, 18	sylbi 121	. . . . 5 |- ( Smo B -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
20	19	expdimp 259	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. dom B -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
21	5, 20	syld 45	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
22	21	pm2.43d 50	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
23	22	3impia 1231	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   Ord word 4502   Oncon0 4503   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372   Smo wsmo 6546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-tr 4225  df-iord 4506  df-iota 5332  df-fv 5380  df-smo 6547

This theorem is referenced by:  smoiun  6562  smoel2  6564