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Theorem smoel 6065
Description: If  x is less than  y then a strictly monotone function's value will be strictly less at  x than at  y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoel  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B  /\  C  e.  A )  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A
) )

Proof of Theorem smoel
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smodm 6056 . . . . 5  |-  ( Smo 
B  ->  Ord  dom  B
)
2 ordtr1 4215 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
dom  B  ->  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  dom  B )  ->  C  e.  dom  B ) )
32ancomsd 265 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  B  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  A
)  ->  C  e.  dom  B ) )
43expdimp 255 . . . . 5  |-  ( ( Ord  dom  B  /\  A  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  C  e.  dom  B ) )
51, 4sylan 277 . . . 4  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  C  e.  dom  B
) )
6 df-smo 6051 . . . . . 6  |-  ( Smo 
B  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom 
B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y
) ) ) )
7 eleq1 2150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  y  <->  C  e.  y ) )
8 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  ( B `  x )  =  ( B `  C ) )
98eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
( B `  x
)  e.  ( B `
 y )  <->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) ) )
107, 9imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  ( C  e.  y  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) ) ) )
11 eleq2 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( C  e.  y  <->  C  e.  A ) )
12 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( B `  y )  =  ( B `  A ) )
1312eleq2d 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( B `  C
)  e.  ( B `
 y )  <->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) )
1411, 13imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( C  e.  y  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  y ) )  <->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1510, 14rspc2v 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  dom  B  /\  A  e.  dom  B )  ->  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1615ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
1716com12 30 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) )  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
18173ad2ant3 966 . . . . . 6  |-  ( ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom  B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) )  ->  (
( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `
 C )  e.  ( B `  A
) ) ) )
196, 18sylbi 119 . . . . 5  |-  ( Smo 
B  ->  ( ( A  e.  dom  B  /\  C  e.  dom  B )  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
2019expdimp 255 . . . 4  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  dom  B  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A ) ) ) )
215, 20syld 44 . . 3  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  ( C  e.  A  ->  ( B `  C
)  e.  ( B `
 A ) ) ) )
2221pm2.43d 49 . 2  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B )  -> 
( C  e.  A  ->  ( B `  C
)  e.  ( B `
 A ) ) )
23223impia 1140 1  |-  ( ( Smo  B  /\  A  e.  dom  B  /\  C  e.  A )  ->  ( B `  C )  e.  ( B `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   Ord word 4189   Oncon0 4190   dom cdm 4438   -->wf 5011   ` cfv 5015   Smo wsmo 6050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-tr 3937  df-iord 4193  df-iota 4980  df-fv 5023  df-smo 6051
This theorem is referenced by:  smoiun  6066  smoel2  6068
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