Theorem smoel 6268

Description: If x is less than y then a strictly monotone function's value will be strictly less at x than at y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoel	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Proof of Theorem smoel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm 6259	. . . . 5 |- ( Smo B -> Ord dom B )
2		ordtr1 4366	. . . . . . 7 |- ( Ord dom B -> ( ( C e. A /\ A e. dom B ) -> C e. dom B ) )
3	2	ancomsd 267	. . . . . 6 |- ( Ord dom B -> ( ( A e. dom B /\ C e. A ) -> C e. dom B ) )
4	3	expdimp 257	. . . . 5 |- ( ( Ord dom B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
5	1, 4	sylan 281	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
6		df-smo 6254	. . . . . 6 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
7		eleq1 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x e. y <-> C e. y ) )
8		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = C -> ( B ` x ) = ( B ` C ) )
9	8	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( ( B ` x ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) ) )
11		eleq2 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( C e. y <-> C e. A ) )
12		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( B ` y ) = ( B ` A ) )
13	12	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( ( B ` C ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
14	11, 13	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
15	10, 14	rspc2v 2843	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. dom B /\ A e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
16	15	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
17	16	com12 30	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
18	17	3ad2ant3 1010	. . . . . 6 |- ( ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
19	6, 18	sylbi 120	. . . . 5 |- ( Smo B -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
20	19	expdimp 257	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. dom B -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
21	5, 20	syld 45	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
22	21	pm2.43d 50	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
23	22	3impia 1190	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   Ord word 4340   Oncon0 4341   dom cdm 4604   -->wf 5184   ` cfv 5188   Smo wsmo 6253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-tr 4081  df-iord 4344  df-iota 5153  df-fv 5196  df-smo 6254

This theorem is referenced by:  smoiun  6269  smoel2  6271